Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=2016.Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2017b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2017c+ab}}\)\(\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
25 tháng 10 2019
Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.
\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)
T
22 tháng 5 2019
Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{2017c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM (cô si): \(ab.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta được:
\(A\le\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}+\frac{bc}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2\left(a+c\right)}+\frac{ca}{2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{2\left(a+b\right)}\)
Thu gọn lại bằng cách cộng những phân thức cùng mẫu và rút gọn phân thức,ta được:
\(A\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{2017}{2}\).
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)
Vậy...
TN
5 tháng 1 2017
Ap dông B§T C-S ta cã:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\)
\(\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\). Tuong tù ta cx cã:
\(\frac{b}{b+\sqrt{2016b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2016c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta dc:
\(VT\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
P/s:may mk bi loi Unikey r` mk dg ban chua kip chinh lai bn gang doc
29 tháng 5 2018
Ta có: \(2019a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)
\(\Rightarrow a+\sqrt{2019a+bc}\ge a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}\le\frac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự cộng vào suy ra điều phải chứng minh
KN
24 tháng 8 2020
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge6\)
Theo giả thiết, ta có a + b + c = 3 nên\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}=\sqrt{\frac{2\left(a+a+b+c\right)}{a+bc}}=\sqrt{2\left(\frac{a+b}{a+bc}+\frac{a+c}{a+bc}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}\)(Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\))
Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}\ge\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}\); \(\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+b}{b+ca}}\ge\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}}\ge\frac{2\sqrt{2}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc+b+ca}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(*)
Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\)(**) ; \(\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+bc}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)(***)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (**) và (***) suy ra \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)\(\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)
Do đó ta có: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\ge6\)hay \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
YY
21 tháng 5 2018
\(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2\sqrt{xy}-z}{z+2\sqrt{xy}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{x+y+z}\right)\)
Tương tự \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)\);\(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{y}{x+y+z}\right)\)
Cộng vế theo vế ta được \(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\le\frac{1}{2}\left(3-1\right)=1\)