Question

[fan FA]

cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là tiếp điểm của I và BC . Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt IB , IC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng tam giác AMN cân tại A .

Answer 1

[Admin (a@olm.vn)]

Sorry vì hình vẽ ko chính xác.

Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tương ứng tại F và E. Gọi K là giao điểm của BI và DE, L là giao điểm của CI và DF.

Giả sử L nằm trong đoạn Df và K nằm trong đoạn DE. Các TH khác chứng minh tương tự.

Dễ thấy ^AIK = ^IAB + ^IBA = (^BAC + ^ABC)/2 = 90^o - (^ACB)/2 = ^CED = 180^o - ^AEK

^AIL = 180^o - ^AFL. Chịu.

Answer 2

[Admin (a@olm.vn)]

Giải tiếp:

Do đó các tứ giác AEKI, AFLI nội tiếp (1)

Vậy ^AKM =^AKI = ^AEI = 90^o = ^AFI = ^ALI = ^ALN

Kết hợp AM vuông góc MN suy ra các tứ giác AKDM và ALDN nội tiếp(2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DAM = ^DKM = 180 - ^EKI = ^EAI = ^CAI = ^BAI = ^FAI = 180 - ^FLI = ^DLI = ^DLN = ^DAM.

Từ đó với chúc ý AM \(\perp\) MN suy ra tam giác AMN cân tại A.