Question

[Phùng Gia Bảo]

Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=4\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)

Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)

Áp dụng (*) và (**), ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Bạn bổ sung cho mình dòng cuối là a = b = c = 1 nhé!