câu 1: Cho xy =1 và x> y . Chứng minh \(\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
câu 2:
Cho hai số a;b thỏa mãn a + b = 1
CMR : \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
HD
3
11 tháng 6 2018
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
mặt khác \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
áp dụng BĐT CÔ-SI CHO hai số dương ta được \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{2}{x-y}}\ge2\sqrt{2}\)
dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-y\right)=\frac{2}{x-y}\)
11 tháng 6 2018
Trường hợp dấu băng xảy ra chưa rỗ, còn cần phải giải thêm
RR
1
2 tháng 8 2020
\(x>y\),\(xy=1\)
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt
DN
2
6 tháng 10 2019
Ta có : \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta được :
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
Chúc bạn học tốt !!!
VH
1
TL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $P$. Đặt $\sqrt{xy}=a; \sqrt{yz}=b$ với $a,b>0$ thì ta cần chứng minh:
$P=\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\sqrt{\frac{2b}{a+1}}\geq 2$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a+1}{2b}.1\leq \left(\frac{\frac{a+1}{2b}+1}{2}\right)^2=(\frac{a+1+2b}{4b})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{2b}{a+1}}\geq \frac{4b}{a+2b+1}(1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}=\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{a+b+1}{a+b}-2=(a+b+1)(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+b})-2\geq \frac{4(a+b+1)}{a+2b+1}-2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{4(a+2b+1)}{a+2b+1}-2=2\) (đpcm)
nguyen van tuan
Bài này là tớ đăg lên ! Nhưg hôm nay thầy tớ giải rồi! Tớ đăg lời giải lên đây cho mấy bạn tham khảo ạ! ko kiếm GP nhá!
Câu 1 :
Vì x > y \(\Rightarrow\) \(x-y>0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
Vì \(xy=1\Rightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi x; y
Câu 2:
\(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) ( vì a+b = 1 )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
Vì \(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)
\(\Rightarrow a^2+\left(1-a\right)^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2a+\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi a;b
Dấu "=" xảy ra khi
\(2a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)