Cho 3 số x,y,z thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in[-1;3]\\x+y+z=3\end{cases}}\)
CHỨNG MINH RẰNG x^2+y^2+z^2 bé hơn hoặc bằng 11
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 12 2018
\(x^2+y^2+z^2=1\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2=1-\left(y^2+z^2\right)\le1\)\(\Leftrightarrow\)\(-1\le x\le1\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le1-x\le2\)
Tương tự, ta cũng có \(0\le1-y\le2;0\le1-z\le2\)
Lại có : \(x^2+y^2+z^2-x^3-y^3-z^3=1-1\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)=0\)
Mà \(1-x;1-y;1-z\ge0\) nên \(x^2\left(1-x\right);y^2\left(1-y\right);z^2\left(1-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(1-x\right)=y^2\left(1-y\right)=z^2\left(1-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\left(loai\right)\\x=y=z=1\left(nhan\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(P=xyz=1.1.1=1\)
...
10 tháng 9 2016
Ta có x + \(\frac{1}{x}\ge2\)
y2 + \(\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge3\)
z3 + \(\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\ge4\)
Cộng vế theo vế ta được
x + y2 + z3 + \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\ge9\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
8 tháng 3 2017
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\\left(x+y+z\right)^2=17+\frac{2xyz}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-4\\xyz=-12\end{cases}}\)
Từ đây ta có x, y, z sẽ là 3 nghiệm của phương trình
\(X^3-3X^2-4X+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(X-3\right)\left(X-2\right)\left(X+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}X=3\\X=2\\X=-2\end{cases}}\)
Vậy các bộ x, y, z thỏa đề bài là: \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,3;-2,3,2;2,-2,3;2,3,-2;3,2,-2;3,-2,2\right)\)
WR
10 tháng 6 2017
\(\hept{\begin{cases}xy+x+y=3< =>xy+x+y+1=4< =>\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\left(1\right)\\yz+y+z=8< =>yz+y+z+1=9< =>\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\left(2\right)\\xz+x+z=15< =>xz+x+z+1=16< =>\left(x+1\right)\left(z+1\right)=16\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1) , (2) và (3):
\(=>\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=4.9.16=576=24^2\)
Do x,y,z dương =>(x+1)(y+1)(z+1)=24
từ (1)=>z+1=24:4=6=>z=5
từ (2)=>x+1=\(\frac{8}{3}\)=>x=\(\frac{5}{3}\)
từ (3)=>y+1=\(\frac{3}{2}\)=>y=\(\frac{1}{2}\)
\(=>P=x+y+z=5+\frac{5}{3}+\frac{1}{2}=\frac{43}{6}\)
7 tháng 1 2017
Cộng 1 vào 2 vế của 3 pt ta được:
x+xy+y+1=1+1 <=> (x+1)(y+1)=2
y+yz+z+1=3+1 <=> (y+1)(z+1)=4
z+xz+z+1=7+1 <=> (z+1)(x+1)=8
Ta có: (x+1)(y+1)(y+1)(z+1)=(y+1)2 .8=2.4=8 => (y+1)2 =1
(y+1)(z+1)(z+1)(x+1)=(z+1)2 .2=4.8=32 => (z+1)2 =16
(z+1)(x+1)(x+1)(y+1)=(x+1)2 .4=2.8=16 => (x+1)2 =4
Do x;y;z không âm nên x= 1; y= 0; z= 3
=> M = 1 +02 +32 =10
bé hơn hoặc bằng 15 nha bn
bé hơn hoặc bằng 11 nha bn
bn làm ko đc thì đừng ns
thầy mik làm đc ra rồi
nhưng bắt mik làm lại thôi bn à