Question

[Pham Trong Bach]

Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5 = y y 3 + 3 y 2 + 2 y − 5 = z z 3 + 3 z 2 + 2 z − 5 = x . Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai:

A. x + y + z là số nguyên

B. x + y + z > 1

C. x + y + z < 6

D. Không tồn tại giá trị x + y + z

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Cộng vế với vế của từng phương trình với nhau ta được:

( x 3 + 3 x 2 + x – 5 ) + ( y 3 + 3 y 2 + y – 5 ) + ( z 3 + 3 z 2 + z – 5 ) = 0

( x – 1 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) + ( y – 1 ) ( y 2 + 4 y + 5 ) + ( z – 1 ) ( z 2 + 4 z + 5 ) = 0   ( 1 )

Nếu x > 1 ⇒ z 3 + 3 z 2 + z – 5 > 1 ⇔ ( z – 1 ) ( z 2 + 4 z + 5 ) > 0 ⇒ z > 1

Tương tự với z > 1 ⇒ y > 1

Suy ra VT (1) > 0 (phương trình vô nghiệm)

Chứng minh tương tự với x < 1 ta cũng được phương trình (1) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Đáp án:D