Question

[Pham Trong Bach]

Cho $a\in \left[\frac{1}{9};3\right]$ và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9{\log }_{\frac{1}{3}}^3\sqrt[3]{a}-{\log }_{\frac{1}{3}}{a}^3+1$. Khi đó giá trị của $A=5m+3M$ gần giá trị nào nhất

A. -1,3

B. -1,5

C. -1,4

D. -1,2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Đặt t = log 1 3 a  với  a ∈ 1 9 ; 3 ⇒ t ∈ - 1 ; 2 .

Khi đó  P = 9 log 1 3 3 a 3 - log 1 3 a 3 + 1 = 1 3 log 1 3 a 3 - 3 log 1 3 a + 1 ⇒ P = f ( t ) = t 3 3 - 3 t + 1

Xét hàm số f t = t 3 3 - 3 t + 1  trên đoạn [-1;2] ta có:

f ' t = t 2 - 3 ; f ' t = 0 ⇔ t 2 = 3 - 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ t = 3  

Tính các giá trị f - 1 = 11 3 ; f 2 = - 7 3 ; f 3 = 1 - 2 3  

Vậy giá trị lớn nhất của f(t) là f - 1 = 11 3  và giá trị nhỏ nhất của f(t) là f 3 = 1 - 2 3  

Do đó  3 M + 5 m = 3 . 11 3 + 5 1 - 2 3 = 16 - 10 3 = - 1 , 32