Question

[Minh Anh]

1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = \(\frac{mx^3}{3}+7mx^2+14x-m+2\) giảm trên nửa khoảng [1; +∞)

2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=f(x) = x + mcosx luôn đồng biến trên R?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

\(y'=f\left(x\right)=mx^2+14mx+14\)

- Với \(m=0\Rightarrow y'=14>0\Rightarrow y\) đồng biến trên R (ko thỏa mãn)

- Với \(m\ne0\) để hàm số nghịch biến trên \(\left[1;+\infty\right]\) ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=49m^2-14m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'>0\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m.f\left(1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m\left(15m+14\right)\ge0\\-7< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-\frac{14}{15}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 2:

\(y'=1-msinx\)

Để hàm số đồng biến trên R \(\Leftrightarrow1-m.sinx\ge0\) \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow msinx\le1\)

- Với \(m=0\Rightarrow0< 1\) (đúng)

- Với \(m< 0\Rightarrow sinx\ge\frac{1}{m}\Rightarrow\frac{1}{m}\le\min\limits_{x\in R}\left(sinx\right)=-1\)

\(\Rightarrow\frac{m+1}{m}\le0\Rightarrow-1\le m< 0\)

- Với \(m>0\Rightarrow sinx\le\frac{1}{m}\Rightarrow\frac{1}{m}\ge\max\limits_{x\in R}\left(sinx\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{1-m}{m}\ge0\Rightarrow0< m\le1\)

Kết hợp lại ta được \(-1\le m\le1\)