Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(1;2;-3)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2\text{x}+2y-z+9=0.$ Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $\left(Q\right):3\text{x}+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng (P) tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Độ dài MB là:

A.  $MB=\sqrt{5}$

B.  $MB=\frac{\sqrt{5}}{2}$

C.  $MB=\frac{\sqrt{41}}{2}$

D.  $MB=\sqrt{41}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Đường thẳng d qua A ( 1 ; 2 ; − 3 )  và vuông góc (Q) có phương trình x = 1 + 3 t y = 2 + 4 t z = − 3 − 4 t .

Vì B = d ∩ P ⇒ B 1 + 3 t ; 2 + 4 t ; − 3 − 4 t ∈ P ⇒ t = − 1 ⇒ B − 2 ; − 2 ; 1

Ta có M ∈ P M A ⊥ M B ⇒ M  thuộc đường tròn giao tuyến của P  và mặt cầu S  (tâm I, đường kính AB)

Phương trình mặt cầu S là x + 1 2 2 + y 2 + z + 1 2 = 41 4 .  

Và  d I , P = 2. − 1 2 + 2.0 + 1 + 9 3 = 3

Khi đó B K = I B 2 − d 2 = 5 2  với K là tâm đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Để MB lớn nhất ⇔  MB là đường kính đường tròn giao tuyến ⇒ M B = 2 B K = 5 .