K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
1
ML
7 tháng 5 2016
P=\(\left\{\frac{2x+1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{\frac{2y+1}{y}\right\}^2\)=\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^2\)+\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^2\) >= 2.\(\left\{2+\frac{1}{x}\right\}^{ }\)\(\left\{2+\frac{1}{y}\right\}^{ }\)
P>= 2.\(\left\{4+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{xy}\right\}^{ }\)
P>=8 + 4\(\left\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right\}^{ }\) + \(\frac{2}{xy}\)
P>= 8 + 4.\(\left\{\frac{x+y}{xy}\right\}^{ }\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{4}{xy}\)+\(\frac{2}{xy}\)
P>= 8+ \(\frac{6}{xy}\)>= 8+ 6.\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)>= 8 + 6.4= 32
dấu = xảy ra khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
18 tháng 8 2020
Sửa: \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4\); x+y=1
Ta có \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4=2x^4+2x^3y-x^3+2xy^3-y^3+2y^4\)
\(=x^3\left(2x+2y\right)+y^3\left(2x+2y\right)-\left(x^3+y^3\right)=\left(2x+2y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3+y^3\right)\)
\(=\left(2x+2y-1\right)\left(x^3+y^3\right)=x^3+y^3\)
Do \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)
Mà \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
HN
25 tháng 11 2018
\(P=3\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
\(\ge3\left(x^2+y^2\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
Đặt \(x^2+y^2=a\) thì \(a\ge2\).Xét hàm \(f\left(a\right)=\dfrac{9}{4}a^2-2a+1\)
Dế thấy \(f_{(a)}\) đồng biến trên [2,+\(\infty\)] nên \(f_{Min}\)=\(f_{(2)}\)=6
Dấu = xảy ra khi x=y=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-5\right)^2\ge0\\\left(x-y+4\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(x-y+4\right)^2\ge0\)
\(A_{min}=0\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\)
b/ \(B=x^2y^2-6xy+9+x^2+4x+4-16\)
\(B=\left(xy-3\right)^2+\left(x+2\right)^2-16\ge-16\)
\(B_{min}=-16\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
c/ \(C=x^2+\frac{y^2}{4}+16+xy+8x+4y+\frac{59}{4}y^2-3y+2001\)
\(C=\left(x+\frac{y}{2}+4\right)^2+\frac{59}{4}\left(y-\frac{6}{59}\right)^2+\frac{118050}{59}\ge\frac{118050}{59}\)
\(C_{min}=\frac{118050}{59}\)
d/ \(D=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+36\)
\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y+12\right)+3\left(y^2+6y+12\right)\)
\(=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)\)
\(=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]\ge2.3=6\)
\(D_{min}=6\)
e/ \(E=a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{9}{4}+ab-3a-\frac{3b}{2}+\frac{3b^2}{4}-\frac{3b}{2}+2014-\frac{9}{4}\)
\(=\left(a+\frac{b}{2}-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2+2011\ge2011\)
\(E_{min}=2011\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 3 2019
Lời giải:
1)
PT hoành độ giao điểm:
\(x^2-3x+5-(x+b)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+(5-b)=0\)
Để 2 ĐTHS có một điểm chung thì pt hoành độ giao điểm có một nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow \Delta'=2^2-(5-b)=0\)
\(\Leftrightarrow b=1\)
2)
\(M=|2x+3|+|x-1|\)
\(2M=2|2x+3|+|2x-2|=(|2x+3|+|2x-2|)+|2x+3|\)
\(=(|2x+3|+|2-2x|)+|2x+3|\)
\(\geq |2x+3+2-2x|+|2x+3|\)
\(\geq |3+2|+0=5\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{5}{2}\). Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (2x+3)(2-2x)\geq 0\\ 2x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2020
Câu 32:
Gọi M là giao điểm d1;d2 thì tọa độ M là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-5y+2=0\\5x-2y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{16}{19};-\frac{2}{19}\right)\)
Do d song song d3 nên d nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(2\left(x+\frac{16}{19}\right)-1\left(y+\frac{2}{19}\right)=0\Leftrightarrow2x-y+\frac{30}{19}=0\)
Câu 33:
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;-2\right)\)
Do AH vuông góc BC nên AH nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AH:
\(1\left(x+1\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)
Câu 34:
Tọa độ M là: \(M\left(\frac{3}{2};4\right)\)
\(\overrightarrow{CM}=\left(-\frac{3}{2};6\right)=-\frac{3}{2}\left(1;-4\right)\)
Phương trình tham số CM: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2-4t\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2020
Câu 30:
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;0\right)=-2\left(1;0\right)\) nên đường thẳng AB nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtcp
Phương trình AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-7\end{matrix}\right.\)
Cả 4 đáp án đều ko chính xác
Câu 31:
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(-1;1\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-6;-4\right)=-2\left(3;2\right)\Rightarrow\) đường trung trực AB nhận \(\left(3;2\right)\) là 1vtpt
Phương trình:
\(3\left(x+1\right)+2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+2y+1=0\)
Với mọi giá trị của \(x;y\in R\) ta có:
\(\left(x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2+2014\ge2014\)
Hay \(D\ge2014\) với mọi giá trị của \(x;y\in R\)
Để \(D=2014\) thì \(\left(x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2+2014=2014\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=0\\\left(2y-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy................
Chúc bạn học tốt!!!
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\\\left(2y-3\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2+2014\ge2014\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=0\\\left(2y-3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(D_{MIN}=2014\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)