Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác SVIP

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC

a. Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác.

Ví dụ. Trong hình vẽ sau, đường thẳng \(a\) là đường trung trực ứng với cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

Nhận xét. Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Chú ý. Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) khi tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

b. Sự đồng quy của ba đường trung trực

Định lí 1. Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ. Trong tam giác \(ABC\), các đường trung trực đồng quy tại \(O\) và \(OA=OB=OC.\)

Nhận xét. Có một đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác. Tâm của đường tròn là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý. Trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng là đường trung tuyến.

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

a. Đường cao của tam giác

Đoạn thẳng \(AI\) kẻ từ đỉnh \(A\) vuông góc với cạnh đối diện \(BC\) là một đường cao của tam giác \(ABC\). Ta còn nói \(AI\) là đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) (hay đường cao ứng với cạnh \(BC\)).

Nhận xét. Mỗi tam giác có ba đường cao.

b. Sự đồng quy của ba đường cao

Định lí 2. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Ví dụ. Trong tam giác \(ABC\), các đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(H.\)

Chú ý. Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Nhận xét. Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó.