Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow T\ge1\)
Bài 2:
[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
Ta có :
\(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{2y}{x}\right)^3}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\frac{\left(1+\frac{2y}{x}\right)+\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}{2}}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{2+\frac{4y^2}{x^2}}=\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)
VÀ
\(B=\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(\Rightarrow B=\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow B=\frac{2}{\sqrt{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{2}{\frac{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]+\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}{2}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)
Suy ra :
\(P=A+B\ge\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
"=" khi \(x=y\)
lô bn xàm lồn
bn trẩu , m phải ARMY hơm
nếu phải thì nhục quá trời,tự nhiên fan BTS lại chưa con phò như mài ,u hú hú
bớt sàm lại đuy,ko thì đừng làm AMI nx,ư~~
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Đúng rồi Thắng , bài này đúng ra phải là \(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)
\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy minA = 1 tại x = y > 0
\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Q\ge1\).Vậy MinQ=1
\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)
\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)
\(\Rightarrow Q\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy minQ= 1 tại \(x=y>0\)