Question

[Kitana]

Tìm x,y,z nguyên tố

(x+2)(y+3)(z+4)=8xyz

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

TH1: Một trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số bằng $2$

Nếu $x=2$ thì:

$(y+3)(z+4)=4yz$

$z=2$ thì dễ thấy vô lý. Do đó z lẻ, kéo theo $z+4$ lẻ.

Kết hợp $(z,z+4)$ nguyên tố cùng nhau nên:

$y+3=4z; z+4=y$

$\Rightarrow z=\frac{7}{3}$ (vô lý- loại)

Nếu $y=2$ thì:

$5(x+2)(z+4)=16xz$ nên 1 trong 2 số $z,x$ phải bằng $5$

$x=5$ thì thay vào thấy vô lý

$z=5$ thì thay vào thấy vô lý)

Nếu $z=2$ thì: $3(x+2)(y+3)=8xy$

$\Rightarrow$ 1 trong 2 số $x,y$ phải bằng $3$

$x=3$ thì $y=5$. Ta có bộ $(x,y,z)=(3,5,2)$

$y=3$ thì $x=6$ (loại)

TH2: Cả 3 số đều lẻ. Khi đó $x+2,z+4$ lẻ và $y+3$ chẵn.

$\Rightarrow y+3\vdots 8$ nên $y\neq 3$

$\Rightarrow (y+3,y)=1$

Vậy $(x+2,x)=1; (y+3, y)=1; (z+4,z)=1$

Khi đó, để $(x+2)(y+3)(z+4)=8xyz$ thì:

$x+2=y; y+3=8z; z+4=x$

$x+2=z; y+3=8x; z+4=y$

$x+2=yz; y+3=8; z+4=x$

Đến đây bạn giải như hpt ba ẩn.

Answer 2

[Kitana]

mình cảm ơn ạ