Question

[thuy nguyen]

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia 7 dư 5 chia 13 dư 4.

Answer 1

[Voez]

Đặt \(x\)là số tự nhiên cần tìm \(\left(1000\le x\le9999\right)\).

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=7k+5\left(k\in N,k>0\right)\\x=13l+4\left(l\in N,l>0\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow13l-7k=1\Rightarrow l=\frac{1+7k}{13}\Rightarrow l=1+k-\frac{6\left(2+k\right)}{13}\Rightarrow2+k⋮13\)(l nguyên dương)

\(\Rightarrow2+k=13t\Rightarrow k=13t-2\left(t\in N,t>0\right)\)

Ta có \(1000\le7k+5\le9999\Rightarrow143\le k\le1427\Rightarrow143\le13t-2\le1427\Rightarrow12\le t\le109\)

\(x\)nhỏ nhất \(\Leftrightarrow k\)nhỏ nhất\(\Leftrightarrow t\)nhỏ nhất\(\Leftrightarrow t=12\)

Khi đó \(x=1083\)