Question

[Nguyễn Kiều Hải Ngân]

Giải phương trình:

a. =1

b. =2

c. =1

Answer 1

[Akai Haruma]

Câu a)

Ta có: \(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow |x-1|+|x-3|=1(*)\)

Xét các TH sau để phá dấu trị tuyệt đối.

Nếu \(x\geq 3\)

\((*)\Leftrightarrow x-1+x-3=1\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=2,5\) (vô lý)

Nếu $x< 1$

\((*)\Leftrightarrow 1-x+3-x=1\rightarrow 2x=3\Rightarrow x=1,5\) (vô lý)

Nếu $1\leq x< 3$

\((*)\Leftrightarrow x-1+3-x=1\Leftrightarrow 2=1\) (vô lý)

Vậy pt vô nghiệm

Hoặc có thể sử dụng BĐT \(|a|+|b|\geq |a+b|\) thì:

\(1=|x-1|+|x-3|=|x-1|+|3-x|\geq |x-1+3-x|=2\) (vô lý nên pt vô nghiệm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Câu b: ĐK: \(x\geq 1\)

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=2\)

Áp dụng BĐT \(|a|+|b|\geq |a+b|\)

\(\Rightarrow |\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\)

\(\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \((\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x\leq 2\)

Vậy pt có nghiệm $x$ nằm trong đoạn \([1;2]\)