Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n (n \(\in\) N) có tận cùng là 1.

Ta có \(3^{50}+1=3^{4.12+2}+1=3^{4.12}.3^2+1=\left(...1\right).9+1=\left(...9\right)+1=\left(...0\right)\)có tận cùng là 0 nên có thể là tích cảu hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có 1 số có tận cùng là 0.

Thay \(a=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{80}}\)để phân biệt a và x.

\(a^3=4+\sqrt{80}+4-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{\left(4+\sqrt{80}\right)\left(4-\sqrt{80}\right)}\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{80}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3=8+3\sqrt[3]{4^2-80^2}.a\)

\(\Leftrightarrow a^3+12a-8=0\)

Do đó, a là một nghiệm của pt \(x^3+12x-8=0\)

ĐK: \(x^3+3x^2-3x+1\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt[3]{9x^2-15x+9}-\left(2-x\right)+\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^2-15x+9-\left(2-x\right)^3}{A^2+AB+B^2}+\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}=0\)

\(\left(A=\sqrt[3]{9x^2-15x+9};\text{ }B=2-x\right)\)\(\text{(}A^2+AB+B^2=\left(A+\frac{B}{2}\right)^2+\frac{3B^2}{4}>0\text{)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3+3x^2-3x+1}{A^2+AB+B^2}+\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}\left(\frac{\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}}{A^2+AB+B^2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-3x+1=0\text{ (do }\frac{\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}}{A^2+AB+B^2}+1>0\text{)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)\left[x^2+\left(2-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\right)x+\sqrt[3]{2}-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x+1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=0\text{ (}pt\text{ }x^2+\left(2-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\right)x+\sqrt[3]{2}-1=0\text{ vô nghiệm do }\Delta

\(\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2.\left(2-\sqrt{3}\right)}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{3}.1+1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)