ĐÁP ÁN

hÌNH

HT

b8 :

\(ab+bc+ca=5\Rightarrow a^2+5=a^2+ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a^2+5=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

tương tự có \(b^2+5=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\) và \(c^2+5=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\) 

thay vào A ta đc :

\(A=a\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+b\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\)

\(c\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(A=a\sqrt{\left(b+c\right)^2}+b\sqrt{\left(c+a\right)^2}+c\sqrt{\left(b+a\right)^2}\)

\(A=a\left|b+c\right|+b\left|c+a\right|+c\left|b+a\right|\)

\(A=ab+ac+bc+ba+cb+ca\) do a;b;c dương

\(A=2\left(ab+bc+ca\right)=2\cdot5=10\)

b9: 

\(x_o=\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+b^3}}-\sqrt[3]{\sqrt{a^2+b^3}-a}\)

\(\Leftrightarrow x_o^3=a+\sqrt{a^2+b^3}-\sqrt{a^2+b^3}+a-3^3\sqrt{\left(a+\sqrt{a^2+b^3}\right)\cdot\left(\sqrt{a^2+b^3}-a\right)}\cdot x_o\)

\(\Leftrightarrow x_o^3=2a-3\sqrt[3]{a^2+b^3-a^2}\cdot x_o\)

\(\Leftrightarrow x_o^3=2a-3bx_O\)

\(\Leftrightarrow x_o^3+3bx_o-2a=0\left(đpcm\right)\)

bài 9 dấu <=> thứ nhất do dài quá bị xuống dòng, như này này b 

\(a+\sqrt{a^2+b^3}-\sqrt{a^2+b^3}+a-3\sqrt[3]{\left(\sqrt{a^2+b^3}+a\right)\left(\sqrt{a^2+b^3-a}\right)}\cdot x_o\)

tam giác ABC vuông tại A có \(\tan\widehat{C}=\frac{AB}{AC}\) nên \(\tan60^o=\frac{AB}{3}\)

\(\Rightarrow AB=3\sqrt{3}\)

tam giác ABC có \(\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}\) nên \(\cos\widehat{60}=\frac{1}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{BC}\Leftrightarrow BC=2\)

vậy miếng tôn dài 2m

tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\tan\widehat{C}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}\)

bấm máy tính shift -> tan -> 3/2 -> ^o'" 

\(\Rightarrow\widehat{C}\simeq56^o\)

a, \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\frac{x}{x-1}-1\right)\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{x-x+1}{x-1}\right)\)

\(P=\frac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{1}\)

\(P=2\sqrt{x}+1\)

b, x = 9/4 (thỏa mãn) => \(P=2\sqrt{\frac{9}{4}}+1=2\cdot\frac{3}{2}+1=4\)

c, \(P\left(\sqrt{x}-2\right)=\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)< 0\)

mà \(2\sqrt{x}+1>0\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\)

\(\Leftrightarrow x< 4\) kết hợp đk : x >= 0 và x khác 1

\(\Rightarrow0\le x\le4\) và x khác 1

x = 1 ; y = 1 => a + b = 1 (1)

x = 0 ; y = -2 => b = -2 (2)

Từ (1) và (2) => a = 3 ; b = -2

Trả lời :

\(x=1;\text{ }y=1\text{ }\Rightarrow\text{ }a+b=1\) (1)

\(x=0\text{ };\text{ }y=2\text{ }\Rightarrow\text{ }b=-2\)(2)

Từ (1) và (2) => a = 3 ; b = -2

~HT~

có : \(\frac{2}{n\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\left(n+2\right)}=\frac{2}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}\)

áp dụng vào ta đc :

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2000}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)

\(A=\frac{\sqrt{4004}+\sqrt{2002}-\sqrt{2}}{\sqrt{4004}}=\)

ôi chết sai công thức ở trên, viết A thành như này nhes \(A=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3+\sqrt{3}}+\frac{2}{4\sqrt{2}+2\sqrt{4}}+...\right)\)

ta có :

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{4}{ab}\ge\frac{4}{\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{8}{a^2+b^2}\)

tương tự ta có : \(\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{8}{b^2+c^2};\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{8}{a^2+c^2}\)

Cộng lại ta có bất đẳng thức cần chứng minh 

dấu bằng xảy ra khi a=b=c