Để K là số nguyên dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}⋮\sqrt{x}-3\\K>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3+3⋮\sqrt{x}-3\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3⋮\sqrt{x}-3\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\sqrt{x}-3\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{4;6\right\}\)

=>\(x\in\left\{16;36\right\}\)

Gọi vận tốc của Thành là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của Công là x+6(km/h)

Thời gian Thành đi là \(\dfrac{12}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian Công đi là \(\dfrac{12}{x+6}\left(giờ\right)\)

Công đến trước Thành 6p=0,1 giờ nên ta có:

\(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+6}=0,1\)

=>\(\dfrac{12\left(x+6\right)-12x}{x\left(x+6\right)}=0,1\)

=>x(x+6)=720

=>\(x^2+6x-720=0\)

=>\(\left(x+30\right)\left(x-24\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-30\left(nhận\right)\\x=24\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Vận tốc của Thành là 24km/h

Vận tốc của CÔng là 24+6=30km/h

Để P là số nguyên thì \(-2⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;1\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\varnothing\)

=>Không có giá trị x nào để P nguyên

\(\left\{{}\begin{matrix}-2< 0\\\sqrt{x}+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}< 0\Rightarrow P< 0\)

\(\sqrt{x}+1>1;\forall x>0\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}< 2\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}>-2\)

\(\Rightarrow-2< P< 0\)

Mà P nguyên \(\Rightarrow P=-1\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}=-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1=2\Rightarrow x=1\) (ko thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy ko tồn tại x để P nguyên

Gọi số than đội xe phải chở mỗi ngày theo kế hoạch là x (tấn)

Thời gian chở hết than theo kế hoạch là: \(\dfrac{120}{x}\) ngày

Thực tế mỗi ngày đội chở được: \(x+6\) tấn

Thực tế số than đội chở được là: \(120+10=130\) (tấn)

Thực tế thời gian chở hết số than là: \(\dfrac{130}{x+6}\) ngày

Do đội hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có pt:

\(\dfrac{120}{x}-\dfrac{130}{x+6}=1\)

\(\Rightarrow120\left(x+6\right)-130x=x\left(x+6\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+16x-720=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=20\\x=-36\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(C=3+2\sqrt{4x^2-8x+13}\)

\(=3+2\sqrt{4x^2-8x+4+9}\)

\(=3+2\sqrt{\left(2x-2\right)^2+9}>=3+2\cdot\sqrt{9}=9\)

Dấu '=' xảy ra khi 2x-2=0

=>x=1

\(D=\left(\sqrt{x}-6\right)^2+\left(\sqrt{x}+2\right)^2\)

\(=x-12\sqrt{x}+36+x+4\sqrt{x}+4\)

\(=2x-8\sqrt{x}+40\)

\(=2\left(x-4\sqrt{x}+20\right)\)

\(=2\left(x-4\sqrt{x}+4+16\right)\)

\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2+32>=32\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}-2=0\)

=>x=4

\(F=x+y-2\sqrt{x+2}-4\sqrt{y-1}+10\)

\(=x+2-2\sqrt{x+2}+1+y-1-4\sqrt{y-1}+4+4\)

\(=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-2\right)^2+4>=4\forall x,y\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=1\\y-1=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=5\end{matrix}\right.\)

(d')//(d)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b\ne-2\end{matrix}\right.\)

vậy: (d'): y=-x+b
Thay x=-1 và y=3 vào (d'), ta được:

b+1=3

=>b=2(nhận)

vậy: y=-x+2

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>CA\(\perp\)SB tại A

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD\(\perp\)SC tại D

Xét ΔSBC có

BD,CA là các đường cao

BD cắt CA tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔSBC

=>SH\(\perp\)BC tại E

Xét tứ giác HECD có \(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90^0+90^0=180^0\)

nên HECD là tứ giác nội tiếp

b: ΔSAH vuông tại A

mà AT là đường trung tuyến

nên TA=TH

=>ΔTHA cân tại T

=>\(\widehat{TAH}=\widehat{THA}\)

mà \(\widehat{THA}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{EHC}=\widehat{EDC}\)(HDCE nội tiếp)

nên \(\widehat{TAH}=\widehat{KDC}\)

Gọi A là giao điểm của (d') và Ox, tọa độ A là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)

Để (d) cắt (d') tại 1 điểm trên trục hoành \(\Rightarrow A\) thuộc (d)

Thay tọa độ A vào pt (d) ta được:

\(\dfrac{1}{2}.\left(2m-1\right)+3=0\)

\(\Rightarrow2m+5=0\Rightarrow m=-\dfrac{5}{2}\)