a.

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-5;-1\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(3-x;-2-y\right)\end{matrix}\right.\)

Do ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x=-5\\-2-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(8;-1\right)\)

Gọi O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

Theo công thúc trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{7}{2}\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

b.

Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow G\left(2;1\right)\)

I đối xứng B qua G \(\Rightarrow G\)  là trung điểm IB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=2x_G-x_B=5\\y_I=2y_G-y_B=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(5;0\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_A+x_D+x_C}{3}=5=x_I\\\dfrac{y_A+y_D+y_C}{3}=0=y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\) là trọng tâm ADC

c.

Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.d\left(C;AB\right)\)

\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AB.d\left(M;AB\right)\)

\(S_{ABC}=3S_{ABM}\Rightarrow d\left(C;AB\right)=3d\left(M;AB\right)\)

\(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{3}BC\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BM}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(x+1;y-2\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x+1;y-2\right)=\dfrac{1}{3}\left(4;-4\right)\\\left(x+1;y-2\right)=-\dfrac{1}{3}\left(4;-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\\\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Do D nằm trên trục hoành nên tọa độ có dạng \(D\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(2;-2\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-5;-5\right)\end{matrix}\right.\)

Do BC, AD là 2 đáy hình thang \(\Rightarrow BC||AD\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\) cùng phương \(\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{-5}{-2}\)

\(\Rightarrow x-5=5\Rightarrow x=10\)

\(\Rightarrow D\left(10;0\right)\)

a.

\(A\left(2;-3\right)\)

Do I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=0\\y_C=2y_I-y_A=5\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow C\left(0;5\right)\)

\(\overrightarrow{AK}=\left(-3;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(5;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(5\left(x+1\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow5x+3y-1=0\)

Do điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ, gọi tọa độ D có dạng \(D\left(2d;d\right)\)

 I là tâm hình bình hành nên I là trung điểm BD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_I-x_D=2-2d\\y_B=2y_I-y_D=2-d\end{matrix}\right.\)

B thuộc đường thẳng AB nên thay tọa độ B vào pt AB ta được:

\(5\left(2-2d\right)+3\left(2-d\right)-1=0\)

\(\Rightarrow d=\dfrac{15}{13}\Rightarrow D\left(\dfrac{30}{13};\dfrac{15}{13}\right)\)

\(\Rightarrow B\left(-\dfrac{4}{13};\dfrac{11}{13}\right)\)

b.

Gọi A' là điểm đối xứng A qua Oy \(\Rightarrow A'\left(-2;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{A'D}=\left(\dfrac{56}{13};\dfrac{54}{13}\right)=\dfrac{2}{13}\left(28;27\right)\)

Đường thẳng A'D nhận \(\left(27;-28\right)\) là 1 vtpt

Phương trình A'D:

\(27\left(x+2\right)-28\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow27x-28y-30=0\)

Gọi M' là giao điểm của A'D với Oy 

\(\Rightarrow M'\left(0;-\dfrac{15}{14}\right)\)

Do A' đối xứng A qua Oy nên: \(MA=MA'\)

\(\Rightarrow MA+MD=MA'+MD\ge A'D\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M, A', D thẳng hàng

Hay M là giao điểm của A'D và Oy

\(\Rightarrow M\) trùng M'

\(\Rightarrow M\left(0;-\dfrac{15}{14}\right)\)

a.

Gọi tọa độ D có dạng \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(4-x;4-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x=1\\4-y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(3;1\right)\)

b.

Gọi I là giao 2 đường chéo

Do giao điểm 2 đường chéo hình bình hành là trung điểm AC nên theo công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{5}{2}\\y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}\right)\)

????????????????

a) \(AB=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}=2\)

 tính tương tự AC= \(\sqrt{34}\)   ,   BC=\(3\sqrt{2}\)

b) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => I là trọng tâm tam giác ABC => \(x_I=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\)  = 10/3

                     \(y_I=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\)   = 2

 =>  I ( 10/3 ; 2 )

2\(x^2\) - 5 \(\sqrt{x^2-5x+7}\) = 10\(x\) - 17 Đk \(x^2\) - 5\(x\) + 7  ≥ 0

\(x^2\) - 2.\(\dfrac{5}{2}\)\(x\) + \(\dfrac{25}{4}\) + \(\dfrac{3}{4}\) = (\(x\) - \(\dfrac{5}{2}\))² + \(\dfrac{3}{4}\) > 0 ∀ \(x\)

ta có: 2\(x^2\) - 5\(\sqrt{x^2-5x+7}\) = 10\(x\) - 17

2\(x^2\) - 5\(\sqrt{x^2-5x+7}\) - 10\(x\) + 17 = 0

(2\(x^2\) - 10\(x\) + 14)  -  5\(\sqrt{x^2-5x+7}\) + 3 = 0

2.(\(x^2\) - 5\(x\) + 7) - 5.\(\sqrt{x^2-5x+7}\) + 3 = 0

Đặt \(\sqrt{x^2-5x+7}\) = y > 0 ta có: 

2y² - 5y + 3  = 0

2 + (-5) + 3 = 0

⇒ y₁= 1; y₂ =  \(\dfrac{3}{2}\) 

TH1 y = 1 ⇒ \(\sqrt{x^2-5x+7}\)  = 1

⇒ \(x^2\) - 5\(x\) + 7  = 1

    \(x^2\) - 5\(x\) + 6 = 0

     \(\Delta\) = 25 -  24 = 49

    \(x_1\) = \(\dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2}\) =  3;

    \(x_2\) =  \(\dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2}\)  = 2;

TH2  y = \(\dfrac{3}{2}\)

        \(\sqrt{x^2-5x+7}\) = \(\dfrac{3}{2}\)

         \(x^2\) - 5\(x\) + 7 = \(\dfrac{9}{4}\)

         4\(x^2\) - 20\(x\) + 28 = 9

          4\(x^2\) - 20\(x\) + 19 = 0

           \(\Delta'\) = 10² - 4.19

          \(\Delta'\) = 24

           \(x_1\) = \(\dfrac{-\left(-10\right)+\sqrt{24}}{4}\) = \(\dfrac{10+\sqrt{24}}{4}\)

           \(x_2\) = \(\dfrac{-\left(-10\right)-\sqrt{24}}{4}\) = \(\dfrac{10-\sqrt{24}}{4}\)

            8 - 5\(\sqrt{6}\)

Từ các lập luận trên kết luận phương trình có tập nghiệm là:

S = {8 - 5\(\sqrt{6}\); 2 ; 3; 8 + 5\(\sqrt{6}\)}

2$x^2$ - 5 $\sqrt{x^2-5x+7}$ = 10$x$ - 17 Đk $x^2$ - 5$x$ + 7  ≥ 0

$x^2$ - 2.$\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}$$x$ + $\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}$ + $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}$ = ($x$ - $\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}$)2 + $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}$ > 0 ∀ $x$

ta có: 2$x^2$ - 5$\sqrt{x^2-5x+7}$ = 10$x$ - 17

2$x^2$ - 5$\sqrt{x^2-5x+7}$ - 10$x$ + 17 = 0

(2$x^2$ - 10$x$ + 14)  -  5$\sqrt{x^2-5x+7}$ + 3 = 0

2.($x^2$ - 5$x$ + 7) - 5.$\sqrt{x^2-5x+7}$ + 3 = 0

Đặt $\sqrt{x^2-5x+7}$ = y > 0 ta có: 

2y2 - 5y + 3  = 0

2 + (-5) + 3 = 0

⇒ y1= 1; y2 =  $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$ 

TH1 y = 1 ⇒ $\sqrt{x^2-5x+7}$  = 1

⇒ $x^2$ - 5$x$ + 7  = 1

    $x^2$ - 5$x$ + 6 = 0

     $\Delta$ = 25 -  24 = 49

    $x^1$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2}$ =  3;

    $x^2$ =  $\genfrac{}{}{0ex}{}{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2}$  = 2;

TH2  y = $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

        $\sqrt{x^2-5x+7}$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

         $x^2$ - 5$x$ + 7 = $\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}$

         4$x^2$ - 20$x$ + 28 = 9

          4$x^2$ - 20$x$ + 19 = 0

           ${\Delta }^{\prime }$ = 102 - 4.19

          ${\Delta }^{\prime }$ = 24

           $x^1$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{-\left(-10\right)+\sqrt{24}}{4}$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{10+\sqrt{24}}{4}$

           $x^2$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{-\left(-10\right)-\sqrt{24}}{4}$ = $\genfrac{}{}{0ex}{}{10-\sqrt{24}}{4}$

            8 - 5$\sqrt{6}$

Từ các lập luận trên kết luận phương trình có tập nghiệm là:

S = {8 - 5$\sqrt{6}$; 2 ; 3; 8 + 5$\sqrt{6}$}

 Đpcm \(\Leftrightarrow a^{b+4}-a^b⋮10\) \(\Leftrightarrow a^b\left(a^4-1\right)⋮10\), dễ thấy điều này đúng với \(a=5\).

 Nếu \(a⋮̸5\) thì \(a^2mod5\in\left\{1,4\right\}\) \(\Leftrightarrow a^4mod5\in\left\{1\right\}\) \(\Leftrightarrow a^4-1⋮5\) với mọi \(0< a< 10,a\ne5\). Vậy ta có \(a^b\left(a^4-1\right)⋮10\) với mọi \(0< a< 10\).

 Hơn nữa, do \(a^b\) và \(a^4-1\) không cùng tính chẵn lẻ nên \(a^b\left(a^4-1\right)⋮2\) với mọi \(0< a< 10\).

 Do vậy \(a^b\left(a^4-1\right)⋮10\) với mọi \(0< a< 10\), suy ra đpcm.