\(S=\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+...+\dfrac{1}{304\cdot307}\)

\(3S=\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{3}{4\cdot7}+...+\dfrac{3}{304\cdot307}\)

\(\)\(3S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{304}-\dfrac{1}{307}\)

\(3S=1-\dfrac{1}{307}\)

\(3S=\dfrac{306}{307}\)

\(S=\dfrac{306}{307}\cdot\dfrac{1}{3}\)

\(S=\dfrac{102}{307}\)

\(S=\dfrac{1}{1.4}+\dfrac{1}{4.7}+...+\dfrac{1}{304.307}\)

\(S=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}\right)+...+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{304}-\dfrac{1}{307}\right)\)

\(S=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+...-\dfrac{1}{304}+\dfrac{1}{304}-\dfrac{1}{307}\right)\)

\(S=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{307}\right)\)

\(S=\dfrac{1}{3}.\dfrac{306}{307}\)

\(S=\dfrac{102}{307}\)

C = 6/2.5 + 6/5.8 + 6/8.11 +...+ 6/29.32
C = 2.(3/2.5 + 3/5.8 + 3/8.11 + ... + 3/29.32)
C = 2.(1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + 1/8 - 1/11 + ... + 1/29 - 1/32)
C = 2.(1/2 - 1/32)
C = 2.15/32
C = 15/16

Con cặc

\(E=1^2+2^2+3^2+....+59^2\)

\(E=1+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+59\left(58+1\right)\)

\(E=1+1\times2+2+2\times3+3+....+58\times59+59\)

\(E=\left(1+2+3+...+59\right)+\left(1\times2+2\times3+....+58\times59\right)\)

Ta đặt :

\(A=1+2+3+...+59\)

Số số hạng là \(\left(59-1\right)\div1+1=59\) số hạng

Tổng là \(\left(59+1\right)\times59\div2=1770\) 

=> \(A=1770\) 

Ta đặt

   \(B=1\times2+2\times3+...+58\times59\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times3+....+58\times59\times3\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times\left(4-1\right)+...+58\times59\times\left(57-54\right)\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times4-2\times3\times1+...+58\times59\times57-58\times59\times54\)

\(3B=58\times59\times57\)

\(B=58\times59\times19\)

\(B=65018\)

=> \(E=A+B\) 

=> \(E=1770+65018\) 

=> \(E=66788\)

Trước hết ta sẽ chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*). Thật vậy, với \(n=1\) thì hiển nhiên \(1^2=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}\). Giả sử (*) đúng đến \(n=k\), khi đó \(1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\). Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)

\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\) 

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6\left(k+1\right)\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\).

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có đpcm. Thay \(n=59\) thì ta có:

\(E=1^2+2^2+...+59^2=\dfrac{59\left(59+1\right)\left(2.59+1\right)}{6}=70210\)

a/

\(a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)=\)

\(=ab-ac-ab-bc+ac-bc=-2bc\)

b/

\(a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)=\)

\(=a-ab+a^3-a=a^3-ab=a\left(a^2-b\right)\)

c/

\(a\left(b-x\right)+x\left(a+b\right)=ab-ax+ax+bx=\)

\(=ab+bx=b\left(a+x\right)\)

Ta đặt

  \(A=1\times3+3\times5+...+61\times63\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times6+....+61\times63\times6\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times\left(7-1\right)+...+61\times63\times\left(65-59\right)\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times7-1\times3\times5+...+61\times63\times65-59\times61\times63\)

\(6A=1\times3\times6-1\times3\times5+61\times63\times65\)

\(6A=3+61\times63\times65\)

\(6A=3\times\left(1+61\times21\times65\right)\)

\(2A=83266\)

\(A=83266\div2=41633\)

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`a,`

` F(x)=3x^2-7+5x-6x^2-4x^2+8`

`= (3x^2 - 6x^2 - 4x^2) + 5x + (-7 + 8)`

`= -7x^2 + 5x + 1`

Bậc của đa thức: `2`

`G(x)=x^4+2x-1+2x^4+3x^3+2-x`

`= (x^4 + 2x^4) + 3x^3 + (2x - x) + (-1+2)`

`= 3x^4 + 3x^3 + x + 1`

Bậc của đa thức: `4`

`b,`

`F(x) + G(x) = (-7x^2 + 5x + 1)+(3x^4 + 3x^3 + x + 1)`

`= -7x^2 + 5x + 1+3x^4 + 3x^3 + x + 1`

`= 3x^4 + 3x^3 - 7x^2 + (5x + x) + (1+1)`

`= 3x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 6x + 2`

`F(x) - G(x) = (-7x^2 + 5x + 1) - (3x^4 + 3x^3 + x + 1)`

`= -7x^2 + 5x + 1 - 3x^4 - 3x^3 - x - 1`

`= -3x^4 - 3x^3 - 7x^2 + (5x - x) + (1-1)`

`= -3x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 4x`

a/

\(F\left(x\right)=\left(3-6-4\right)x^2+5x+\left(-7+8\right)=-7x^2+5x+1\) -> Đa thức bậc 2

\(G\left(x\right)=\left(1+2\right)x^4+3x^3+\left(2-1\right)x+\left(-1+2\right)=3x^4+3x^3+x+1\) -> Đa thức bậc 4

b/

\(F\left(x\right)+G\left(x\right)=-7x^2+5x+1+3x^4+3x^3+x+1\\ =3x^4+3x^3-7x^2+6x+2\)

\(F\left(x\right)-G\left(x\right)=-7x^2+5x+1-3x^4-3x^3-x-1\\ =-3x^4-3x^3-7x^2+4x\)

Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần. Luỹ thừa ký hiệu là \(a^b\) , đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b , số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ. Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

 Đ/N:Lũy thừa được viết dưới dạng aⁿ, gồm cơ số a và số mũ là n.

C/T : aⁿ = a.a.............a ( n thừa số a ) ( n khác 0 ).

⇒ ( 4x + 28 ) . 3 + 55  = 35 . 5

 ⇒ ( 4x + 28 ) . 3 + 55 = 175

  ⇒ ( 4x + 28 ) . 3 = 175 - 55

  ⇒ ( 4x + 28 ) .3 = 120

   ⇒  4x + 28 = 120 : 3

    ⇒ 4x + 28 = 40

   ⇒  4x = 40 -  28

    ⇒ 4x = 12

     ⇒ x = 12: 4

⇔ x = 3.

Vậy x= 3.

\(\left[\left(4x+28\right)\times3+55\right]\div5=35\)

\(\left(4x+28\right)\times3+55=175\)

\(12x+84+55=175\)

\(12x=175-55-84\)

\(12x=36\)

\(x=3\)

\(a,x\left(y-z\right)+y\left(z-x\right)+z\left(x-y\right)\\ =xy-xz+yz-xy+xz-yz\\ =\left(xy-xy\right)+\left(xz-xz\right)+\left(yz-yz\right)\\ =0+0+0\\ =0\left(dpcm\right)\)

\(b,x\left(y+z-yz\right)-y\left(z+x-zx\right)+z\left(y-x\right)\\ =xy+xz-xyz-yz-xy+xyz+yz-xz\\ =\left(xy-xy\right)+\left(xz-xz\right)+\left(xyz-xyz\right)+\left(yz-yz\right)\\ =0+0+0+0\\ =0\left(dpcm\right)\)