Lời giải:

$a^2+b^2=2\Leftrightarrow (a+b)^2=2+2ab=2(ab+1)$

$\Leftrightarrow (a+b)^2=2(a^3+b^3)=2(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\Leftrightarrow (a+b)^2=2(a+b)(2-ab)$

$\Leftrightarrow (a+b)[(a+b)-2(2-ab)]=0$

Nếu $a+b=0$

$\Rightarrow ab+1=a^3+b^3=a^3+(-a)^3=0\Rightarrow ab=-1$

Nếu $a+b-2(2-ab)=0$

$\Leftrightarrow a+b=4-2ab$

$\Rightarrow (a+b)^2=(4-2ab)^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=16+4a^2b^2-16ab$

$\Leftrightarrow 2+2ab=16+4a^2b^2-16ab$

$\Leftrightarrow 4a^2b^2-18ab+14=0$

$\Leftrightarrow 2a^2b^2-9ab+7=0$

$\Leftrightarrow (ab-1)(2ab-7)=0$

$\Rightarrow ab=1$ hoặc $ab=\frac{7}{2}$

Thử lại:

Nếu $ab=-1\Rightarrow a^3+b^3=1+ab=0\Rightarrow a=-b$.

$\Rightarrow -1=ab=a.(-a)=-a^2\Rightarrow a^2=1$

$\Rightarrow a=\pm 1\Rightarrow b=\mp 1$

Nếu $ab=1\Rightarrow (a+b)^2=2+2ab=4\Rightarrow a+b=\pm 2$

$a^3+b^3=1+ab=2$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)=2$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-3(a+b)=2$. Thay $a+b=2$ và $a+b=-2$ vào thấy $a+b=2$.

Từ $ab=1, a+b=2\Rightarrow a(2-a)=1$

$\Rightarrow (a-1)^2=0\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1$.

Nếu $ab=\frac{7}{2}$:

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=2-2.\frac{7}{2}=-5<0$ (vô lý - loại)

Vậy $ab=\pm 1$
Với $ab=1$ thì $a=b=1$
Với $ab=-1$ thì $(a,b)=(1,-1)$ hoặc $(a,b)=(-1,1)$

a, Ta có tam giác ABC vuông cân tại A nên ^ABC = ^ACB = 45⁰

Tam giác AEC vuông cân tại E => ^EAC = ^ECA = 45⁰

=> ^BCE = ^BCA + ^ECA = 90⁰

=> BC vuông EC 

mà AE vuông EC 

=> AE // BC mà ^BCE = ^AEC = 90⁰

Vậy tứ giác AECB là hình thang vuông tại E;C

b, ^BAE = ^BAC + ^EAC = 135⁰

^ABC = 45⁰ 

a, Ta có tam giác ABC vuông cân tại A nên ^ABC = ^ACB = 450

Tam giác AEC vuông cân tại E => ^EAC = ^ECA = 450

=> ^BCE = ^BCA + ^ECA = 900

=> BC vuông EC 

mà AE vuông EC 

=> AE // BC mà ^BCE = ^AEC = 900

Vậy tứ giác AECB là hình thang vuông tại E;C

b, ^BAE = ^BAC + ^EAC = 1350

^ABC = 450

a: ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HB=\sqrt{16^2-12^2}=\sqrt{256-144}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HC=\sqrt{20^2-12^2}=16\left(cm\right)\)

b: Xét ΔDHC có

CA,DE là các đường trung tuyến

CA cắt DE tại F

Do đó: F là trọng tâm của ΔDHC

Xét ΔDHC có

F là trọng tâm

M là trung điểm của CD

Do đó: H,F,M thẳng hàng

c: ΔCHD vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên \(HM=\dfrac{1}{2}CD\)

Xét ΔDHC có

HM là đường trung tuyến

F là trọng tâm

Do đó: \(HF=\dfrac{2}{3}HM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CD=\dfrac{1}{3}CD\)

ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;2;-2\right\}\)

\(P=\dfrac{x+2}{x^2-4x+4}:\left(\dfrac{6-x^2}{x^2-2x}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{x+2}{x}\right)\)

\(=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2}:\left(\dfrac{6-x^2}{x\left(x-2\right)}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}\right)\)

\(=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2}:\dfrac{6-x^2+x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2}\cdot\dfrac{x\left(x-2\right)}{6-x^2+x+x^2-4}\)

\(=\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{x}{x-2}\)

\(\left(x-y-z\right)^2-\left(x-y\right)^2+2x-yz\)

\(=\left(x-y\right)^2-2z\left(x-y\right)+z^2-\left(x-y\right)^2+2x-yz\)

\(=-2z\left(x-y\right)+z^2+2x-yz\)

\(=-2xz+2yz+z^2+2x-yz=z^2+2x-2xz+yz\)

Em nên viết bằng công thức toán học có biểu tượng\(\Sigma\) góc trái màn hình, để mọi người có thể hiểu đúng đề và trợ giúp tốt nhất cho tài khoản vip  em nhé!

Xét ΔIDC có AB//DC
nên \(\dfrac{IA}{AD}=\dfrac{IB}{BC}\)

mà AD=BC

nên IA=IB

Xét ΔABC và ΔBAD có

AB chung

BC=AD

AC=BD

Do đó: ΔABC=ΔBAD

=>\(\widehat{CAB}=\widehat{DBA}\)

=>\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

=>OA=OB

Ta có: OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và AC=BD

nên OC=OD

ΔOCD cân tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên ON\(\perp\)DC

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM\(\perp\)AB

mà AB//CD
nên OM\(\perp\)CD

Ta có: IA+AD=ID

IB+BC=IC

mà IA=IB và AD=BC

nên ID=IC

=>ΔIDC cân tại I

mà IN là đường trung tuyến

nên IN\(\perp\)DC

Ta có: OM\(\perp\)CD

ON\(\perp\)CD

mà OM,ON có điểm chung là O

nên O,M,N thẳng hàng(1)

Ta có: IN\(\perp\)DC

ON\(\perp\)CD

mà IN,ON có điểm chung là N

nên I,N,O thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra I,M,O,N thẳng hàng

\(P=4x^2+2y^2-4xy-4x-8y+2050\\ =\left(4x^2-4xy+y^2\right)+y^2-4x-8y+2050\\ =\left(2x-y\right)^2-2.\left(2x-y\right).1+1^2+y^2-10y+2049\\ =\left(2x-y-1\right)^2+\left(y^2-10y+25\right)+2024\\ =\left(2x-y-1\right)^2+\left(y-5\right)^2+2024\ge2024\forall x,y\)

Dấu = xảy ra khi: \(\left(2x-y-1\right)^2=\left(y-5\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(3;5\right)\)

Vậy min P = 2024 tại (x;y)=(3;5)

a: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEB~ΔHDC

b: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

c: Ta có: ΔEBC vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên \(NE=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

ΔDBC vuông tại D

mà DN là đường trung tuyến

nên \(DN=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra ND=NE

=>ΔNDE cân tại N

ΔNDE cân tại N

mà NM là đường trung tuyến

nên NM\(\perp\)DE

\(3\cdot\left(-35\right)\cdot\left(-37\right)-\left(-15\right)\cdot37\)

\(=105\cdot37+15\cdot37\)

\(=37\left(105+15\right)=37\cdot120=4440\)

4,(-35).15 -(-15)-37                                                                                    5,(-154).(-235)+154.(-35)                                                                          6,(-25).(-17).4+(-20)         

\(1.237.\left(-28\right)+28.137\)

\(=237.\left(-28\right)+28.137\)

\(=\left(-237\right).28+28.137\)

\(=28.\left[\left(-237\right)+137\right]\)

\(=28.\left(-100\right)\)

\(=-2800\)

1237 x (-28) + 28 x 137

= 1237 x (-28) - (-28) x 137

= (-28) x (1237 - 137)

= (-28) x 1100

= (-28) x (1000 + 100)

= (-28) x 1000 + (-28) x 100 

= (-28000) + (-2800)

= (-30800)