ĐKXĐ: \(x\ne1\)

c: Để A>1 thì \(A-1>0\)

=>\(\dfrac{x^2-x+1}{x-1}-1>0\)

=>\(\dfrac{x^2-x+1-x+1}{x-1}>0\)

=>\(\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}>0\)

mà \(x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>=1>0\forall x\)

nên x-1>0

=>x>1

d: Để A nguyên thì \(x^2-x+1⋮x-1\)

=>\(x\left(x-1\right)+1⋮x-1\)

=>\(1⋮x-1\)

=>\(x-1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;0\right\}\)

Để giải các bài toán liên quan đến hàm số \[ A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \] ta cần phân tích hàm số này.

### 1. Tìm điều kiện để \( A > 1 \)

Để tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( A > 1 \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi hàm số**:
   \[
   A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}
   \]

   Ta phân tích phân thức này bằng cách chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \) bằng phép chia đa thức:

   **Chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \):**

   - Chia \( x^2 \) cho \( x \) được \( x \).
   - Nhân \( x \) với \( x - 1 \) được \( x^2 - x \).
   - Trừ \( x^2 - x \) khỏi \( x^2 - x + 1 \) ta còn dư \( 1 \).

   Vậy,
   \[
   \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{2}{x - 1}
   \]

2. **Đặt điều kiện \( A > 1 \)**:
   \[
   x + \frac{2}{x - 1} > 1
   \]

   - Trừ 1 từ cả hai vế:
     \[
     x + \frac{2}{x - 1} - 1 > 0
     \]

   - Kết hợp các hạng tử:
     \[
     x - 1 + \frac{2}{x - 1} > 0
     \]

   - Đặt \( t = x - 1 \), ta có:
     \[
     t + \frac{2}{t} > 0
     \]

   - Phân tích bất phương trình:
     \[
     t^2 + 2 > 0
     \]

   Vì \( t^2 + 2 \) luôn dương (bất kể giá trị của \( t \)), bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của \( t \neq 0 \). Do đó, điều kiện để \( A > 1 \) là \( x \neq 1 \).

### 2. Tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là số nguyên

1. **Biến đổi hàm số**:
   \[
   A = x + \frac{2}{x - 1}
   \]

   Để \( A \) là số nguyên, thì \(\frac{2}{x - 1}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 1 \) phải là một ước của 2.

2. **Tìm các ước của 2**:
   - Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \).

3. **Tìm các giá trị tương ứng của \( x \)**:
   - Nếu \( x - 1 = 1 \), thì \( x = 2 \).
   - Nếu \( x - 1 = -1 \), thì \( x = 0 \).
   - Nếu \( x - 1 = 2 \), thì \( x = 3 \).
   - Nếu \( x - 1 = -2 \), thì \( x = -1 \).

4. **Kiểm tra các giá trị**:

   - Với \( x = 2 \):
     \[
     A = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3
     \]

   - Với \( x = 0 \):
     \[
     A = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1
     \]

   - Với \( x = 3 \):
     \[
     A = \frac{3^2 - 3 + 1}{3 - 1} = \frac{7}{2} = 3.5
     \]
     (Không phải là số nguyên)

   - Với \( x = -1 \):
     \[
     A = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{3}{-2} = -1.5
     \]
     (Không phải là số nguyên)

### Kết quả:

- **Điều kiện để \( A > 1 \)** là \( x \neq 1 \).
- **Các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) là số nguyên** là \( x = 0 \) và \( x = 2 \).

a: ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

\(x^2+x=0\)

=>x(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Khi x=0 thì \(A=\dfrac{0-3}{0+1}=\dfrac{-3}{1}=-3\)

b: \(Q=A\cdot B\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\left(\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{6x}{9-x^2}+\dfrac{x}{x+3}\right)\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\left(\dfrac{3\left(x+3\right)+6x+x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{3x+9+6x+x^2-3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x+1}\cdot\dfrac{x^2+6x+9}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+1}\)

\(A=-\left(x^2-6x+9\right)=-\left(x-3\right)^2\)

Do \(\left(x-3\right)^2\ge0;\forall x\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow A\le0\Rightarrow A_{max}=0\) khi \(x=3\)

\(B=4x^2-4x+1+14=\left(2x-1\right)^2+14\)

Do \(\left(2x-1\right)^2\ge0;\forall x\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+14\ge14;\forall x\)

\(\Rightarrow B_{min}=14\) khi \(2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\left(x+2y\right)^2-\left(x-2y\right)^2=\left(x+2y+x-2y\right)\left(x+2y-x+2y\right)=2x.4y=8xy\)

b.

\(\left(3x+2y\right)^2-\left(3x+2y\right)\left(6y-4x\right)+\left(2x-3y\right)^2\)

\(=\left(2x+3y\right)^2+2\left(2x+3y\right)\left(2x-3y\right)+\left(2x-3y\right)^2\)

\(=\left(2x+3y+2x-3y\right)^2\)

\(=\left(4x\right)^2=16x^2\)

mình cần gấp áa

a: X,Y trái dấu

=>XY<0

=>\(-2abc^3\cdot3a^2b^3c^5< 0\)

=>\(-6a^3b^4c^8< 0\)

=>\(a^3>0\)

=>a>0

b: X,Y cùng dấu

=>X*Y>0

=>\(-2abc^3\cdot3a^2b^3c^5>0\)

=>\(-6a^3b^4c^8>0\)

=>\(a^3< 0\)

=>a<0

c: \(X\cdot Y=-5a^2n\cdot b\cdot3a^4n\cdot b^5=-15a^6n^2b^6< =0\forall a,b,n\)

=>X và Y không thể cùng có giá trị âm

Đề là \(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\ge9\) với đúng chứ em?

thầy trả lời giúp em với

\(\Leftrightarrow\left(6x^2+2xy-8x\right)+\left(3xy+y^2-4y\right)+\left(3x+y-4\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3x+y-4\right)+y\left(3x+y-4\right)+\left(3x+y-4\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+y-4\right)\left(2x+y+1\right)=1\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(5;-12\right);\left(5;-10\right)\)

 A = (14⁸)²⁰²⁰ + 10 

A =  (14⁸)^5.404 + 10

A = (14⁵)^8.404 + 10

A = 537824³²³² + 10

537824 \(\equiv\) 1 (mod 11)

537824³²³² \(\equiv\) 1³²³² (mod 11) \(\equiv\) 1 (mod 11)

10 \(\equiv\) 10 (mod 11)

⇒ 537824³²³² + 10  \(\equiv\) 1 + 10 (mod 11)

⇒537824³²³² + 10 \(\equiv\) 11 (mod 11) \(\equiv\) 0 (mod 11)

⇒ A = (14⁸)²⁰²⁰ + 10 \(⋮\) 11 (đpcm)

\(14\equiv3\left(mod11\right)\Rightarrow\left(14^8\right)^{2020}\equiv\left(3^8\right)^{2020}\left(mod11\right)\)

\(\left(3^8\right)^{2020}=3^{8.404.5}=\left(3^5\right)^{3232}=\left(243\right)^{3232}\)

\(243\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow243^{3232}\equiv1\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow\left(14^8\right)^{2020}\equiv1\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow\left(14^8\right)^{2020}+10⋮11\)

Đặt \(P=-x^2+4xy-5y^2-2x+4y-5\)

\(=-\left(x^2-4xy+4y^2\right)-2\left(x-2y\right)-1-y^2-4\)

\(=-\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)-1-y^2-4\)

\(=-\left[\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1\right]-y^2-4\)

\(=-\left(x-2y+1\right)^2-y^2-4\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\left(x-2y+1\right)^2\le0\\-y^2\le0\\-4< 0\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x;y\)

\(\Rightarrow-\left(x-2y+1\right)^2-y^2-4< 0;\forall x;y\)

Vậy P luôn âm