Bài 3.17 

a = \(\dfrac{n+8}{2n-5}\)  (n \(\in\) N*)

a \(\in\) Z ⇔ n + 8  ⋮ 2n - 5

           2.(n + 8) ⋮ 2n - 5

            2n + 16 ⋮ 2n - 5

       2n - 5 + 21 ⋮ 2n - 5

                     21 ⋮ 2n - 5

        2n - 5 \(\in\) Ư(21)

21 = 3.7; Ư(21) = {-21; -7; -3; -1; 1; 3; 7; 21}

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có: n = 6

Vậy n = 6 thì a là số nguyên tố.

\(\dfrac{7n-1}{4}\) \(\in\) N ; \(\dfrac{5n+3}{12}\) \(\in\) N 

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}7n-1⋮4\\5n+3⋮12\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}3.\left(7n-1\right)⋮12\\5n+3⋮12\end{matrix}\right.\)

⇒  \(\left\{{}\begin{matrix}21n-3⋮12\\5n+3⋮12\end{matrix}\right.\)

⇒  21n - 3 + 5n + 3 ⋮ 12

      (21n + 5n) ⋮ 12

       26n ⋮ 12

       13n ⋮ 6

        n ⋮ 6

⇒ 7n là số chẵn ⇒ 7n -  1 là số lẻ nên  7n - 1 không chia hết cho 4 

Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn đề bài.

x = 5

y = 14

z = 1.5

( nhân chéo chia ngang)

\(\dfrac{-4}{8}\) = \(\dfrac{x}{-10}\) = \(\dfrac{-7}{y}\) = \(\dfrac{z}{-3}\)

  \(x\) =  \(-\dfrac{4}{8}\).(-10) = 5

  y = -7 : (-\(\dfrac{4}{8}\)) = 14

  z = - \(\dfrac{4}{8}\).(-3) = \(\dfrac{3}{2}\)

Vậy (\(x;y;z\)) = (5; 14; \(\dfrac{3}{2}\))

\(\dfrac{-3}{4}+\dfrac{-7}{12}=\dfrac{-9}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{-16}{12}=\dfrac{-4}{3}\)

`-3/4 + (-7)/12`

`= -9/12 + (-7)/12`

`= (-9-7)/12`

`=-16/12`

`=-4/3`

\(S=\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+....+\dfrac{1}{2001!}\)

\(S=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+.....+\dfrac{1}{2001!}\)

\(\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{1\times2};\dfrac{1}{3!}< \dfrac{1}{2\times3};...;\dfrac{1}{2001!}< \dfrac{1}{2000\times2001}\)

\(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+....+\dfrac{1}{2001!}< \dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+....+\dfrac{1}{2000\times2001}\)

\(S< 1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2000}-\dfrac{1}{2001}\)

\(S< 2-\dfrac{1}{2001}< 2< 3\)

=> \(S< 3\)

\(\dfrac{10^2+11^2+12^2}{15^2+14^2}\)

\(=\dfrac{100+121+144}{225+196}\)

\(=\dfrac{221+144}{421}\)

\(=\dfrac{365}{421}\) 

a; (-46) + (-125) + 46 + 25

= - (46 - 46) - (125 - 25)

= - 0 - 120

= -120 

b; 25.(-15) + 25.(-5) +(-20).75

= 25.(-15 - 5) + (-20).75

= 25.(-20) - 20.75

= -20.(25 + 75)

= -20.100

= -2000

Mình gửi trước câu a nhé.

a) Xét tập hợp \(A=\left\{x\inℕ|2^x\le56\right\}\). Vì A bị chặn trên nên A có phần tử lớn nhất. Giả sử \(\alpha=maxA\). Gọi \(a\) là tích của tất cả các số lẻ không vượt quá 56. Xét số \(b=2^{\alpha-1}.a\). Ta có \(b\) là bội của tất cả các phần tử của tập hợp \(\left\{2,3,4,...,56\right\}\backslash\left\{2^{\alpha}\right\}\). Do đó:

 \(b.B=\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{3}+...+\dfrac{b}{2^{\alpha}}+...+\dfrac{b}{56}\notinℤ\)

 Vậy B không thể là số nguyên. Ta có đpcm.

A = \(\dfrac{2023^{2024^{2025}}-2017^{2024^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{2^{2025}.1012^{2025}}-2017^{2^{2023}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{2^2.2^{2023}.1012^{2025}}-2017^{2^2.2^{2021}1012^{2023}.}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{4.2^{2023}.1012^{2025}}-2017^{4.2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\left(2023^4\right)^{2^{2023}.1012^{2025}}-\left(2017^4\right)^{2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\left(\overline{..1}\right)^{2^{2023}.1012^{2025}}-\left(\overline{..1}\right)^{2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\overline{..1}-\overline{..1}}{10}\)

A = \(\dfrac{\overline{..0}}{10}\) 

A  \(\in\) N (đpcm)

A = \(\dfrac{2023^{2024^{2025}}-2017^{2024^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{2^{2025}.1012^{2025}}-2017^{2^{2023}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{2^2.2^{2023}.1012^{2025}}-2017^{2^2.2^{2021}1012^{2023}.}}{10}\)

A = \(\dfrac{2023^{4.2^{2023}.1012^{2025}}-2017^{4.2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\left(2023^4\right)^{2^{2023}.1012^{2025}}-\left(2017^4\right)^{2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\left(\overline{..1}\right)^{2^{2023}.1012^{2025}}-\left(\overline{..1}\right)^{2^{2021}.1012^{2023}}}{10}\)

A = \(\dfrac{\overline{..1}-\overline{..1}}{10}\)

A = \(\dfrac{\overline{..0}}{10}\) 

A  \(\in\) N (đpcm)

\(5x+xy-4y=3\)

\(\Rightarrow x\left(y+5\right)-4y-20=3-20\)

\(\Rightarrow x\left(y+5\right)-4\left(y+5\right)=-17\)

\(\Rightarrow\left(y+5\right)\left(x-4\right)=-17\)

Bổ sung: \(x,y\in Z\) 

Ta có bảng:

Vậy: ... 

\(5x+xy-4y=3\)

\(\Rightarrow x\cdot\left(y+5\right)-4y-20=3-20\)

\(\Rightarrow x\cdot\left(y+5\right)-4\cdot\left(y+5\right)=-17\)

\(\Rightarrow\left(y+5\right)\cdot\left(x-4\right)=-17\)

\(\Leftrightarrow x,y\in Z\)

Lập bảng giá trị:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(21;-6\right),\left(-13;-4\right),\left(3;12\right),\left(5;-22\right)\right\}\)