đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{cases}}\)

cậu tính A theo x,y,x rồi chứng minh 

\(B=\frac{x}{z-y}.\frac{y}{x-z}+\frac{y}{x-z}.\frac{z}{y-x}+\frac{z}{y-x}.\frac{x}{z-y}=-1\)

thì ta có A+2B>=0   -->A>=-2B=2

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)}\ge2\)

Subtract 2 from both sides:

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}-2\ge2-2\)

Refine:

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}\ge0\)

Simplyfy : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}:\)     \(\frac{4a^2bc-4a^2c^2-4a^2b^2+2a^2b-2a^2c+4ab^2c+4abc^2+2ac^2-2ab^2-4b^2c^2+2b^2c-2bc^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)}-2\)

Convert element to fraction: \(2=\frac{2}{1}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a^2\right)}{\left(c-a\right)}-\frac{2}{1}\)

Find LCD for: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}-\frac{2}{1}\):

Find the least common denominator 1   (a  - b) (b - c) (c- a) = (a  - b) (b - c) (c- a)(a  - b) (b - c) (c- a)

Sau đó vào đây để xem bài giải tiếp theo nhá! Lười đánh máy tiếp lắm!   Có gì mai mốt sử dụng phần mềm đó giải khỏi phải lên đây hỏi.

Step-by-Step Calculator - Symbolab

Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y

=> x-4=5(y-4) <=> x-4=5y-20 <=> x=5y-16

Và: x+2=3(y+2) <=> x+2=3y+6 <=> x=3y+4

=> 5y-16=3y+4

<=> 2y=20 => y=10

x=3.10+4=34

ĐS: Tuổi mẹ là 34 (tuổi). Tuổi con là 10 (tuổi)

Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y

Ta có : x - 4 = 5y   (1)

           x + 2 = 3y   =>   2 . (x + 2) = 2 . 3y

                             =>   2x + 4 = 6y    (2)

Lấy (2) - (1) ta có : 2x + 4 - x + 4 = 6y - 5y

                          => x + 8 = y

Thay vào (1) ta có :  x - 4 = 5 . ( x + 8 )

                            => x - 4 = 5x + 40

                            => 5x - x = - 4 - 40

                            => 4x = - 44

                            => x = (-44) : 4 = -11

                            => y = -11 + 8 = - 3

              Vậy x = -11 , y = -3  

GTNN :\(A=\frac{\left(2x^2+2\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+1}=2+\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge2\forall x\) có GTNN là 2

GTLN : \(A=\frac{\left(4x^2+4\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+1}=4-\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\le4\forall x\) có GTLN là 4

+) \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)

+) \(x^2-2xy+y^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(đpcm)

Từ \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Ta thấy \(VT\ge0=VT\) ; đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)(đpcm)

a) Ta thấy CA, CE là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 

\(\widehat{COA}=\widehat{COE}\)

Tương tự \(\widehat{DOE}=\widehat{DOB}\)

Suy ra \(\widehat{DOE}+\widehat{COE}=\widehat{DOB}+\widehat{COA}\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{DOB}+\widehat{COA}\)

Mà \(\widehat{DOB}+\widehat{COA}+\widehat{COD}=180^o\Rightarrow\widehat{COD}=90^o\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OC\perp AE\)

\(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ACO}\) (Cùng phụ với góc AOC)

Mà \(\widehat{ACO}=\widehat{ECO}\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{EAB}\) 

Vậy thì \(\Delta AEB\sim\Delta COD\left(g-g\right)\)

c) Gọi I là trung điểm CD. Xét hình thang ACDB có IO là đường trung bình nên IO // AC//BD

Vậy nên OI vuông góc với AB tại O, hay AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn (I, CD/2)

Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)

Áp dụng AM - GM ta có :

\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)

\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)

\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)

\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)

Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)

Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)

Thanks bạn

\(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(\frac{b-c-a+c+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)

Ta có:\(y=\frac{2x^2}{1+x^2}\le\frac{2x^2}{2x}=x\Leftrightarrow y\le x\)

Tương tự ta có:\(z\le y,y\le x\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z\)

Đến đây dễ rồi