cho xy = 1
cmr \(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\)+ x\(^2\) + y\(^2\) \(\ge\)3
đẳng thức xảy ra khi nào?
Nhờ các bạn giúp mình với, mình đang cần gấp
cảm ơn nhiều ạ<3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: x<>1
Để A là số nguyên thì \(-3⋮x-1\)
=>\(x-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
=>\(x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
Đại hội đã quy định Quốc kỳ là lá cờ đỏ có ngôi sao vàng 5 cánh ở giữa, Quốc ca là bài “Tiến quân ca”, hai quyết định này đến nay vẫn còn được lưu giữ nguyên vẹn.
a: Xét (O) có
ΔCMD nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCMD vuông tại M
Xét tứ giác NODM có \(\widehat{NOD}+\widehat{NMD}=90^0+90^0=180^0\)
nên NODM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có CD,AB là các đường kính và CD\(\perp\)AB
nên \(sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{CB}=sđ\stackrel\frown{AD}=sđ\stackrel\frown{BD}=90^0\)
Xét (O) có \(\widehat{MNA}\) là góc có đỉnh trong đường tròn chắn hai cung AM,CB
nên \(\widehat{MNA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CB}\right)\)
=>\(\widehat{MNA}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MC}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
nên \(\widehat{MBC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MNA}=\widehat{MBC}\)
Diện tích xung quanh thùng nước là:
\(2\Omega\cdot15\cdot25=750\Omega\left(cm^2\right)\)
Diện tích 1 mặt là \(15^2\cdot\Omega=225\Omega\left(cm^2\right)\)
Diện tích tôn cần dùng là \(750\Omega+225\Omega=975\Omega\left(cm^2\right)\)
Diện tích xung quanh thùng:
2π.15.25 = 750π (cm²)
Diện tích đáy thùng:
π.15² = 225π (cm²)
Diện tích tôn cần dùng:
750π + 2.225π = 1200π (cm²)
Do xy=1 nên ta biến đối vế trái để bài toán trở thành Chứng minh BĐT sau:
\(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}-2\dfrac{2}{\left(x+y\right)}\left(x+y\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\ge3\)
Hay: \(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}-2\dfrac{2}{\left(x+y\right)}\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2\ge1\)
<==> \(\left(\dfrac{2}{x+y}-\left(x+y\right)\right)^2\ge1\) quy đồng mẫu số vế trái:
<==> \(\left(\dfrac{-\left(x^2+y^2\right)}{x+y}\right)^2\ge1\) (do xy=1)
<==> \(\left(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{x+y}\right)^2\ge1\) (*)
(vì vế trái là Bình phương 1 phân số nên ta có thể bỏ qua dấu âm của tử số).
Xét vế trái của (*):
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho mẫu số: (x+y) ≤ \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}\)
(Đẳng thức khi x=y)
Khi đó Vế trái BĐT (*) : \(\left(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{x+y}\right)^2\ge\left(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\right)^2=\dfrac{\left(x^2+y^2\right)}{2}\) (**)
Áp dụng BĐT Cô sy cho tử số (cả x2 và y2 đều là số dương) ta có:
(x2+y2) ≥ 2xy =2 (do xy=1) Đẳng thức khi x=y. ==> (**) ≥1
Đó chính là Đpcm (*). (Đẳng thức khi x=y=1).