Ta có : a.bcd.abc = abcabc

=> a.bcd.abc = abc.1001

=> a.bcd = 1001 ( Vì \(abc\ne0\))

Vì a ; bcd đều là số tự nhiên mà a là số có 1 chữ số (\(a\ne0\))

Phân tích ra các thừa số ta đươc : 1001 = 7 . 13 .11

Dễ dàng nhận thấy a = 7 

và bcd = 13.11

<=> bcd = 143

Vậy a = 7 ; b = 1 ; c = 4 ; d = 3 

Ta có: \(8< 2^x< 2^9.2^{-5}\)

\(\Leftrightarrow2^3< 2^x< 2^4\)

Mà x là số tự nhiên

=> Không tồn tại x thỏa mãn

Bài làm:

Ta có: \(80^2-75^2+70^2-65^2+60^2-...+10^2-5^2\)

\(=\left(80-75\right)\left(80+75\right)+\left(70-65\right)\left(70+65\right)+...+\left(10-5\right)\left(10+5\right)\)

\(=5.\left(80+75\right)+5.\left(70+65\right)+...+5.\left(10+5\right)\)

\(=5.\left(80+75+70+65+...+10+5\right)\)

\(=5\cdot\frac{\left(5+80\right)\cdot\left[\left(80-5\right)\div5+1\right]}{2}\)

\(=5\cdot\frac{85\cdot16}{2}=3400\)

Bài làm:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)

b) Tương tự phần a ta chứng minh được:

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c

c) Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)

\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a-b}{2}}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\)

\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\frac{4}{2c}=\frac{4}{c}\) (Cauchy Schwars)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế 3 BĐT vừa CM lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "="  xảy ra khi: a=b=c

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a,b,c > 0

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a^2+ab}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

a, b > 0 => \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\ab>0\\a+b>0\end{cases}}\forall a,b\)

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra \(\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)( do ab(a+b) > 0 )

b) CMTT ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\); \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế của bđt ta được :

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Còn ý c) thì mình chưa làm được vì chưa nghiên cứu sâu về bđt

Tham khảo bài bạn @godatakeshidang nhé ^^

Bài làm:

a) Ta có: \(x^2+4\ge4>0\left(\forall x\right)\)

=> \(5x-2\le0\)

<=> \(5x\le2\)

=> \(x\le\frac{2}{5}\)

b) Ta có: \(x^2-2x+9=\left(x^2-2x+1\right)+8=\left(x-1\right)^2+8\ge8>0\left(\forall x\right)\)

=> \(3x+4\ge0\)

<=> \(3x\ge-4\)

=> \(x\ge-\frac{4}{3}\)

\(\frac{5x-2}{x^2+4}\le0\)

Vì x² + 4 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 5x - 2 ≤ 0

                      <=> 5x ≤ 2

                      <=> x ≤ 2/5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 2/5

\(\frac{3x+4}{x^2-2x+9}\ge0\)

Ta có : x² - 2x + 9 = ( x² - 2x + 1 ) + 8 = ( x - 1 )² + 8 ≥ 8 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 3x + 4 ≥ 0

                       <=> 3x ≥ -4

                       <=> x ≥ -4/3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ -4/3

Bạn chép lại đề được không?

hót cứt

tham tu

Ta có : \(ad=bc;a,b,c,d>0\)

\(\Rightarrow2\sqrt{ad}=2\sqrt{bc}\)

Khi đó : \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\) \(=\frac{1}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\right].\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\right]}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^2-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\) \(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+d+2\sqrt{ad}-b-c-2\sqrt{bc}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+d-b-c}\) ( Do \(2\sqrt{ad}=2\sqrt{bc}\) )

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 

\(\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=\frac{b-a}{7-5}=\frac{10}{2}=5\)  

\(\frac{a}{5}=5\Rightarrow a=5\cdot5=25\)    

\(\frac{b}{7}=5\Rightarrow b=35\)   

\(\frac{c}{8}=5\Rightarrow c=8\cdot5=40\)