a) khi \(m=3\)thì hpt có dạng 

\(\hept{\begin{cases}3x+2y=1\\3x+4y=-1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2y=2\\3x+2y=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-1\\3x-2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-1\\3x=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-1\\x=1\end{cases}}\)

vậy với \(m=3\)  hpt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)

b) (1) => y= \(\frac{1-mx}{2}\)thay vào (2) => 6x+(m+1)(1-mx)=-2

 <=> x(6-m-m²)=-3-m

pt có nghiêm duy nhất khi 6-m-m²\(\ne\)0 <=> m\(\ne\)2;-3 (*)

với m\(\ne\)x;-3 thì x=\(\frac{-1}{m-2}\)=> y=\(\frac{1+\frac{m}{m-2}}{2}\)=\(\frac{2m-2}{2m-4}\)=1+\(\frac{1}{m-2}\)

x. y nguyên khi m-2\(\in\)Ư(1)={1;-1}

=> m\(\in\){3;1}  (**)

từ (*)(**) => m \(\in\){3;1}

\(x^3+\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=\left(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\right)^3\)   ( 1 )

\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

Đặt: \(y=\sqrt{x+1};z=\sqrt{2}\)khi đó ( 1 ) có dạng \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)^3\)( 2 )

Chứng minh được ( 2 ) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\)

+ \(x+y=0\Leftrightarrow x+\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=-x\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)( thoản mãn )

+ \(x+z=0\Leftrightarrow x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\)( không thỏa mãn )

+ \(y+z=0\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{2}=0\)( vô nghiệm )

Vậy pt có nghiêm duy nhất là : \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

Đặt a = \(\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{2}-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}\)

\(a^2=4+2\sqrt{4-\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=4+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=4+\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}=3+\sqrt{5}\Rightarrow a=\sqrt{3}+\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\)\(x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1\)

\(=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}-\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}-1=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}-1\)

\(=\sqrt{2}-1\Rightarrow x=\sqrt{2}-1\Rightarrow x=x^2+2x-1=0\)

\(B=2x^3+3x^2-4x+2\)

\(B=2x\left(x^2+2x-1\right)-\left(x^2+2x-1\right)+1=1\)

Tham khao:

2,Biết x+y=5x+y=5 và x+y+x2y+xy2=24x+y+x2y+xy2=24 Giá trị của biểu thức x3+y3x3+y3 là

3,Nếu đa thức x2+px2+qx2+px2+q chia hết cho đa thức x2−2x−3x2−2x−3 thì khi đó giá trị của

2) x+y+x2y+xy2=24⇔x+y+xy(x+y)=24⇔5+5xy=24⇔xy=24−55=3,8x+y+x2y+xy2=24⇔x+y+xy(x+y)=24⇔5+5xy=24⇔xy=24−55=3,8

(x+y)=5⇔x2+2xy+y2=25⇔x2+y2=25−2xy=17,4(x+y)=5⇔x2+2xy+y2=25⇔x2+y2=25−2xy=17,4

x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=5(17,4−3,8)=68

3) x4−2x−3=(x+1)⋅(x−3)x4−2x−3=(x+1)⋅(x−3)

Để đa thức x4+px2+q⋮x2−2x−3x4+px2+q⋮x2−2x−3 => Có hai nghiệm của x là x = -1 hoặc x = 3.

+) Xét x = -1 : x4+px2+q=0⇒(−1)4+p⋅(−1)2+q=0x4+px2+q=0⇒(−1)4+p⋅(−1)2+q=0

⇒1+p+q=0→q=−1−p⇒1+p+q=0→q=−1−p (1)

+) Xét x = 3 : x4+px2+q=0⇒34+p⋅32+q=0x4+px2+q=0⇒34+p⋅32+q=0

⇒81+p⋅9+q=0⇒81+p⋅9+q=0 (2)

Thế (1) vào (2) ta có : 81+9⋅p−1−p=081+9⋅p−1−p=0

⇔80+8p=0⇔80+8p=0

⇔p=−10⇔p=−10

Vậy giá trị của p là -10.

Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow S=1\)

Ta chứng minh \(S=1\) là GTNN của \(S\)

Thật vật ta có: \(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4x^2+yz+1}{4x^2-yz+2}+\frac{-4y^2+xz+1}{4y^2-xz+2}+\frac{-4z^2+xy+1}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2yz-4x^2+xy+xz}{4x^2-yz+2}+\frac{2xz-4y^2+xy+yz}{4y^2-xz+2}+\frac{2xy-4z^2+xz+yz}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{-\left(2x+z\right)\left(x-y\right)-\left(2x+y\right)\left(x-z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)^2\left(\frac{z^2+6yz+6xz+8xy-4}{\left(4y^2-xz+2\right)\left(4x^2-yz+2\right)}\right)\right)\ge0\) *Đúng*

BĐT cuối đúng hay ta có ĐCPM

bạn có thể trình bày theo bdt cô si hay bunhia  được không