Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng mình là:

\(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)

Xét: \(f\left(a\right)=a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\)

Ta thấy nếu \(bc-b-c\ge0\)khi đó ta luôn có \(f\left(a\right)\ge0\)hay:

\(a^2+2\left(bc-b-c\right)a+b^2+c^2-2bc+1\ge0\)

Bây giờ xét trường hợp sau: \(bc-b-c\le0\)

Khi đó ta có:\(\Delta_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\)

Mà số hạng từ bậc 2 là số dương để \(f\left(a\right)\ge0\)thì ta phải chỉ ra được:

\(\Delta_a=\left(bc-b-c\right)^2-\left(b^2+c^2-2bc+1\right)\le0\)

Hay \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

Để ý \(bc-b-c\le0\)ta được \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le1\)lúc này khả năng xảy ra các trường hợp sau:

- Cả \(\left(b-1\right);\left(c-1\right)\)cùng nhỏ hơn 1 hay cả b,c nhỏ hơn 2 và theo bất đẳng thức Cô si ta được:

\(b\left(2-b\right)\le\frac{\left(b+2-b\right)^2}{4}=1;c\left(2-c\right)\le\frac{\left(c+2-c\right)^2}{4}=1\)

\(\Rightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\)nên ta có \(bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

Trong 2 số \(\left(b-1\right);\left(c-1\right)\)có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b,c có số lớn hơn hoặc nhỏ hơn 2 

\(\Rightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\Leftrightarrow bc\left(b-2\right)\left(c-2\right)-1\le0\)

Vậy cả 2 khả năng đều cho \(\Delta_a\le0\)nên bất đẳng thức đã được chứng minh. Bài toán đã được chứng mình xong.

Với x >= 0 ; x khác 1 

\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-x-1\)

\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-2-x-1=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-x-3\)

\(=\frac{\sqrt{x}+2-\left(x+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+2-x\sqrt{x}-x-3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{-x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

Gọi giá tiền máy giặt, lò vi sóng lần lượt là a ; b ( a ; b > 0 ) 

Theo bài ra ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a+b=21\\\frac{15a}{100}+\frac{10b}{100}=21-18,3=2,7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=12\\b=9\end{cases}}\)(tm) 

Vậy ... 

đk : x >= 2 

\(3\sqrt{x-2}+2x=\sqrt{x+6}+6\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-2}-3+2x-6-\left(\sqrt{x+6}-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(x-2\right)-9}{3\sqrt{x-2}+3}+2\left(x-3\right)-\frac{x+6-9}{\sqrt{x+6}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x-27}{3\sqrt{x-2}+3}+2\left(x-3\right)-\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{9}{3\sqrt{x-2}+3}+2-\frac{1}{\sqrt{x+6}+3}\ne0\right)=0\Leftrightarrow x=3\)(tmđk) 

Ta có : \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

\(T=\frac{a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}}{\left(a+b+c\right)^{2021}}=\frac{b^{2021}+b^{2021}+b^{2021}}{\left(b+b+b\right)^{2021}}=\frac{3b^{2021}}{\left(3b\right)^{2021}}=\frac{3}{3^{2021}}=\frac{1}{3^{2020}}\)

Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Khi đó P = \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\left(4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\right)=-2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-1\right)^2+2\le2\)

Dấu "=" khi a = b = 1 

Ta thấy: \(\frac{a^2}{b}-2a+b=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}\)

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}-\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-ab+b^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{b}}{\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{a+b}{2}}=\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2a+2b}\)

Bất đẳng thức tương đương với:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}\ge\)

\(\frac{3\left(a-b\right)^2}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}+\frac{3\left(b-c\right)^2}{4\sqrt{b^2+c^2-bc}+2\left(b+c\right)}+\frac{3\left(c-a\right)^2}{b\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\right]\)

\(+\left(c-a\right)^2\left[\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\right]\ge0\)

Ta đặt:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\)

Chứng mình sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được A,B,C\(\ge0\), vậy:

\(A=\frac{1}{b}-\frac{3}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}=\frac{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2a+b}{4\sqrt{a^2+b^2-2ab}+2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(B=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2b+c}{4\sqrt{b^2+c^2-2bc}+2\left(b+c\right)}\ge0\)

\(C=\frac{1}{c}-\frac{3}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}=\frac{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2c+a}{4\sqrt{c^2+a^2-ca}+2\left(c+a\right)}\ge0\)

Vậy biểu thức đã được chứng mình.

b) \(\hept{\begin{cases}x^2-4x+3=0\left(1\right)\\x^2+xy+y^2=3\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) <=> (x - 1)(x - 3) = 0 \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)

Với x = 3 => (2) <=> 3² + 3y + y² = 3 

<=> y² + 3y + 6 = 0 

<=> \(\left(2y+3\right)^2=-15\)<=> PT vô nghiệm

Với x = 3 => (1) <=> 1² + y + y² = 3 

<=> (y - 1)(y + 2) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)

=> Hệ có 2 nghiệm (x ; y) = (1;1) ; (1 ; - 2)