Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y = -x^3+3x^2-x+4$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ và $N$ luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định nào?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho hàm số y=f(x)y=f(x)có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C), phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(a,f(a)),(a∈K)M(a,f(a)),(a∈K) là:
y=f′(a)(x−a)+f(a).
.
.
Đường thẳng là tiếp tuyến của đường cong khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Mà tiếp tuyến của cắt trục hoành tại , cắt trục tung tại sao cho là tam giác vuông cân tại nên và
Từ và suy ra
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến đã cho.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: .
nên
và .
Phương trình tiếp tuyến là
Xét tiếp tuyênd với (C) tại điểm có hoành độ x0 bất kì trên (C)
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là: y'=-x20-4x0-3=1-(x0+2) =< 1 với mọi x
TXĐ : R
y' =3x2 - 3
tiếp tuyến d song song với ox nếu hệ số góc bằng 0 nên ta có phương trình 0 = 3x2 -3 => x = 1 hoặc x= -1
Đặt f(x) = 4x3 - 8x2 + 1
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R nên:
f(x) liên tục trên [-1; 2].
Ta có: f(-1) = -11 và f(2) = 1 ⇒ f(−1).f(2)=−11<0 nên tồn tại để .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-1 ; 2 ).
Hàm số f(x)=4x3-8x2+1 liên tục trên R
Ta có f(-1)=-11,f(2)=1 nên f(-1);f(2) <0
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã có có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1;2)
xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1(1−m2)x5−3x−1
f(x)liên tục trên R nên f(x) lt trên [-1,0]
f(-1)=m2+1m2+1>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra ( đpcm ) .
Gọi tọa độ điểm MM, NN lần lượt là M(x1;y1), N(x2;y2)M(x1;y1), N(x2;y2).
Hệ số góc tiếp tuyến của (C)(C) tại MM và NN lần lượt là
k1=y′(x1)=−3x12+6x1−1k1=y′(x1)=−3x12+6x1−1; k2=y′(x2)=−3x22+6x2−1k2=y′(x2)=−3x22+6x2−1
Để tiếp tuyến của (C)(C) tại MM và NN luôn song song với nhau điều kiện là
{k1=k2x1≠x2{k1=k2x1≠x2 ⇔{(x1−x2)[−3(x1+x2)+6]=0x1≠x2⇔{(x1−x2)[−3(x1+x2)+6]=0x1≠x2⇔x1+x2=2⇔x1+x2=2.
Ta có:y1+y2=−(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]+3[(x1+x2)2−2x1x2]−(x1+x2)+8y1+y2=−(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]+3[(x1+x2)2−2x1x2]−(x1+x2)+8
Do x1+x2=2x1+x2=2 nên y1+y2=−2(4−3x1x2)+3(4−2x1x2)+8=10y1+y2=−2(4−3x1x2)+3(4−2x1x2)+8=10.
Trung điểm của đoạn MNMN là I(1;5)I(1;5). Vậy đường thẳng MNMN luôn đi qua điểm cố định I(1;5)I(1;5).
Ta có \(y'=-3x^2+6x-1\Rightarrow y^n=-6x+6;y^n=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow I\left(1;5\right)\) là điểm uốn của đồ thị (C)
G/s M (xM;yM); N(xN;yN) là 2 điểm di động trên (C)
Tiếp tuyển của (C) tại M,N song song với nhau
=> y'(xM)=y'(xN)
\(\Leftrightarrow-3x^2_M+6x_M-1=-3x_N^2+6x_N-1\)
\(\Leftrightarrow-3\left(x_M-x_N\right)\left(x_N+x_M\right)+6\left(x_M-x_N\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_M+x_N}{2}=1\left(x_M\ne x_N\right)\)=> I là trung điểm MN
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm I cố định