nhầm đề bài rồi phải là SC^2 =SE.SA

\(\frac{SE}{SC}=\frac{SC}{SA}\left(=\frac{SF}{SB}\right)\Rightarrow SC^2=SE.SA\)

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=4282.1658=7099556\)
\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=7099556\)
Mà ac+bd=2384 
⇔\(\left(ad-bc\right)^2\)=7099556−23842=1416100 
⇔|ad−bc|=1190 
=> ad=bc=1190

Ta đã từng chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

CM như sau: Nhân hai vế cho 2 được \(2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

                                      \(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)

                                      \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12\)

          \(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge12^2=144\)

           \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\) (1)

Mặt khác:  \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

 \(\Rightarrow\)\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\) (2)

Cộng vế theo vế ta được: \(2\left(x^4+y^4+z^4\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge144\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge48\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=2

Vậy M_min = 48 <=> x=y=z=2

có trong nÂNG CAO PHÁT TRIỂN ĐÓ BẠN 

giúp em liền

Ta có: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-z\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-z\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(1+Xy\right)}\ge0\)

=> đúng

Tương tự ta được: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+Xy}\ge\frac{2}{1+xyz}\) (vì z\(\ge1\) )

                                \(\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{2}{1+xyz}\)

                                  \(\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\ge\frac{2}{1+xyz}\)

công vế theo vế \(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{3}{1+xyz}\)

dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

ủa mà lạ lắm à nghen em nói em bắt đầu off rồi mà + cách nói ell giống pé châu => ai on nick này z?

(bạn tự vẽ hình nhé)

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AB

Suy ra: \(\Delta DAB\) cân tại A => \(\widehat{D}=\widehat{ABD}\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{D}+\widehat{ABD}=2\widehat{ABD}\) (góc ngoài của tam giác)

Mặt khác: \(\widehat{BAC}=2\widehat{ABC}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{DBC}\)

Xét hai tam giác BAC và DBC có:

\(\widehat{C}\) : chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{DBC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta BAC\) đồng dạng với \(\Delta DBC\) (g-g)

\(\Rightarrow\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC^2=DC.AC\)

                             \(\Rightarrow a^2=b\left(b+c\right)\Rightarrow a^2=b^2+bc\)

=> đpcm

Gọi AD là phân giác góc A.

\(\Delta CAD\sim \Delta CBA\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{AD}{c}=\frac{CD}{b}\)

\(=> b^2=a.CD\) ; \(bc=a.AD=a.BD\)

\(=> b^2+bc=a^2\)

Ta thấy: DE song song với BC, N nằm trên DE => ND, NE đều song song với BC.

Áp dụng định lý Thales vào tam giác ABM và AMC, có NB và NC lần lượt song song với MB, MC nên:

\(\hept{\begin{cases}\frac{AN}{AM}=\frac{ND}{MB}\\\frac{AN}{AM}=\frac{NE}{MC}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{ND}{MB}=\frac{NE}{MC}\Leftrightarrow\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)

(đpcm)