Ta có: 

a) 

\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2ab-2ac-2bc\right]^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)

\(=4\left[ab+ac+bc\right]^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)

\(=4\left(ab\right)^2+4\left(ac\right)^2+4\left(bc\right)^2-8abc\left(a+b+c\right)-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)

\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

b)\(=2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(abbc+abca+bcca\right)\)

\(=2\left(ab+bc+ac\right)^2-4abc\left(a+b+c\right)=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)

c) \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4}{2}\)

\(=a^4+b^4+c^4\)

Ta có:

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow2+2ab+2bc+2ca=0\)(theo bài ra a^2 + b^2 + c^2 = 2)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1\)

Vậy:\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4-2-2\)

a) Vì M là trung điểm AB 

=> AM = MB 

Vì N là trung điểm BC 

=> BN = NC 

=> MN là đường trung bình ∆ABC 

=> MN//AC 

=> AMNC là hình thang (dpcm) 

2) Vì AB = AD (gt)

=> ∆ABD cân tại A 

=> ABD = ADB 

Ta có AM = MB (cmt)

Q là trung điểm AD 

=> AQ = QD 

=> MQ là đường trung bình ∆ABD 

=> QM//DB 

=> QMBD là hình thang 

Mà ABD = ADB (cmt)

= > QMBD là hình thang cân (dpcm)

a) A = \(\left(10^{n+1}-5\right)^2\)

Ta có :

x=99....90....025=99....90....025

         | n số 9 ||n số 0|

Dễ thấy 10^n-1=999...910n−1=999...9( n chữ số 9 )

Ví dụ 10-1=910−1=9

10000-1=999910000−1=9999

......

\Rightarrow\left(10^n-1\right).10^{n+2}+25⇒(10n−1).10n+2+25

=10^n.10^{n+2}-10^{n+2}+25=10n.10n+2−10n+2+25

=10^{2n+2}-10.10^{n+1}+25=102n+2−10.10n+1+25

=\left(10^{n+1}\right)^2-2.5.10^{n+1}+5^2=(10n+1)2−2.5.10n+1+52

=\left(10^{n+1}-5\right)^2=(10n+1−5)2 là số chính phương.

Vậy ...

https://vi.scribd.com/document/323989515/50-%C4%91%E1%BB%81-thi-olympic-toan-2000-pdf

tham khảo ở link này (mình gửi cho)

Học tốt!!!!!!!!!!!!!

#)Giải :

\(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\left(đpcm\right)\)

Ta có:\

 \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)(cộng hai vế với \(a^2\)và\(b^2\) nha bạn)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Vậy khi \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right)^2\)

Thì \(a=b\)

Bạn có thể giải ngắn hơn nếu áp dụng BĐT Cauchy

Do \(a^2\ge0;b^2\ge0\)

suy ra áp dụng BĐT cauchy ta có

\(a^2+b^2\ge2ab\)(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  a=b)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)(cộng hai vế với \(a^2\)và\(b^2\) nha bạn)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Vậy khi \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right)^2\)

Thì \(a=b\)

a, \(36^2+26^2-52.36=36^2-2.26.36+26^2=\left(36-26\right)^2=10^2=100\)

\(b,2004^2-16^2=\left(2004-16\right)\left(2004+16\right)=1988.2020=4015760\)

\(a,36^2+26^2-52.36\)

\(=36^2-2.26.36+26^2\)

\(=\left(36-26\right)^2\)

\(=10^2=100\)

\(b,2004^2-16^2\)

\(=\left(2004-16\right)\left(2004+16\right)\)

\(=1988.2020\)

\(=4015760\)

a) Xét tam giác ABC có: AB=BC

=> Tam giác ABC cân tại B

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

Mặt khác : \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\) ( CA là phân giác góc C)

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)

mà hai góc này ở vị trị so le trong

=> AB//CD

=> ABCD là hình thang

b) Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM là đường cao 

Hay BM vuông AC

Mà AE vuông AC ( gt)

=> AE//BM

=> ABME là hình thang.

Em tham khảo link:Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta có bổ đề

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

ÁP DỤNG BỔ ĐỀ VÀO P ta có

\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)

Vậy P=3