Ta có: \(a^2+\dfrac{1}{3}\ge2a.\dfrac{1}{\sqrt{3}},b^2+\dfrac{1}{3}\ge2b.\dfrac{1}{\sqrt{3}},c^2+\dfrac{1}{3}\ge2c.\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

suy ra \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a+b+c\right)\le a^2+b^2+c^2+1\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{3}\le x+y+z\le\sqrt{3}\)

Ta lại có:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)}{2}\left(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\right)\)

Đặt \(x+y+z=t\)thì ta có hàm

\(f\left(t\right)=\dfrac{t\left(3-t^2\right)}{2}\)với \(-\sqrt{3}\le t\le\sqrt{3}\)

Ta chứng minh:

\(\dfrac{t\left(3-t^2\right)}{2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(t+2\right)\ge0\) (đúng)

Vậy max là 1 tại x + y + z = 1

Đài ơi, giải giúp cho Sarah đi, tớ không có viết và giờ vào giường rồi , good nigh

Câu 10: 

Gọi \(H\) là giao điểm của \(MO\) và \(AB\).

Xét tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\) đường cao \(AH\): 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{MA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{MA^2}+\dfrac{1}{R^2}\Leftrightarrow MA=R\).

\(S_{MAOB}=S_{MAO}+S_{MBO}\)

\(=\dfrac{1}{2}.AO.MA+\dfrac{1}{2}.OB.MB\)

\(=\dfrac{1}{2}.R.R+\dfrac{1}{2}.R.R=R^2\)

Chọn C.