giúp mình với
Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn m^2 + n^2 chia hết cho 5. Chứng minh tồn tại ít nhất một trong hai số 2m+n hoặc m+2n chia hết cho 5. nhanh có tick
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
tại a=b=1/2
thêm ít cách
Cách 1:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)
\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 2:
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)
\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)
\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)
\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)
\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)
Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được:
\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 3:Làm tắt thui ạ
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)
giống cách 2 rồi làm nốt
Gọi K là giao điểm của AB và EF
O là giao điểm của AC và BD => OB = OD vì ABCD là hình chữ nhật
Ta có: EK // OB => \(\frac{EK}{OB}=\frac{AE}{AO}\)
EF//OD => \(\frac{EF}{OD}=\frac{AE}{AO}\)
=> \(\frac{EK}{OB}=\frac{EF}{OD}\) mà OD = OB
=> EK = EF mặt khác EH = EB ( H đối xứng với B qua E )
=> KBFH là hình bình hành
=> KB //=HF ( 1)
Ta lại có: KB //GD ( vì G thuộc DC ; AB //DC ; ABCD là hình chữ nhật )
và GK // BD ( giả thiết )
=> GKBD là hình bình hành
=> KB // = GD ( 2)
Từ ( 1) và (2) => HF // = GD
=> HFDG là hình bình hành có: ^FDG = 90 độ ( kề bù ^ADC = 90 độ )
=> HFDG là hình chữ nhật
=> HD = FG ( hai đường chéo bằng nhau)
Gọi x là số lần tăng lên của vi khuẩn sau 30 phút
Ban đầu chỉ có 50 con => Sau 30 phút: 50x con
=> Sau 1 h : 50x2 con . => Sau 1h 30 p : 50x3 con
=> Sau 2h: 50x4 con
.....
=> Sau 24h : 50x48 con
Theo bài ra : Sau 2h vi khuẩn là 4050 con
Do đó ta có pt: 50x4= 4050 <=> x = 3
Vậy sau 1 ngày ( = 24 h ) số vi khuẩn sẽ là: 50.x48 = 50.348 con
Ta có:
( 2m + n ) . ( m + 2n ) = 2m . m + n . m + 2m . 2n + n . 2n
= 2m2 + mn + 4mn + 2n2
= 2 ( m2 + n2 ) + 5mn
Vì m2 + n2 chia hết cho 5 => 2 ( m2 + n2 ) chia hết cho 5 và 5mn chia hết cho 5
=> 2 ( m2 + n2 ) + 5mn chia hết cho 5
=> (2m + n ) ( m + 2n ) chia hết cho 5
=> Tồn tại ít nhất 1 trong hai số 2m + n hoặc m + 2n chia hết cho 5.
thank bạn