a/

Xét tg BCD và tg CBD có

BD=CE (gt)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân ABC)

BC chung

=> tg BCD = tg CBD (c.g.c) => CD=BE (đpcm)

b/

tg BCD = tg CBD (cmt) \(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> tg IBC cân tại I => IB=IC

Xét tg ABI và tg ACI có

IB=IC (cmt)

AI chung

AB=AC (cạnh bên tg cân ABC)

=> tg ABI = tg ACI (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=> AI là phân giác \(\widehat{A}\)

=> AI là trung trực của BC (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực)

c/

Ta có

AD=AB-BD

AE=AC-CE

Mà AB=AC; BD=CE

=> AD=AE

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\) => DE//BC (Talet đảo trong tam giác)

d/

Từ E đựng đường thẳng // với AB cắt BC tại G

ta có

\(\widehat{EGC}=\widehat{ABC}\) (góc đồng vị)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{EGC}=\widehat{ACB}\) => tg EGC cân tại E => GE=CE (cạnh bên tg cân)

Mà BD=CE (gt)

=> GE=BD mà BD=BF => GE=BF

Ta có 

GE//AB => GE//BF

=> BEGF là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành)

=> KE=KF (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> K là trung điểm của EF