Để rút gọn biểu thức đã cho ta tính từng phần của nó.

Ta có:

 *\(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(3-\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\\ =\dfrac{9-x+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}=\dfrac{5}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\)

*\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+6}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-3\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\)

* \(\dfrac{5}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}+\dfrac{-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}=\dfrac{5-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\\ =\dfrac{3-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

*.\(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

Đs....

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua 

\(\Rightarrow\) Với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m-1\right)x_0+m+3\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-x_0-y_0+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\-x_0-y_0+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=4\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m thì (d) luôn đi qua điểm cố định \(M\left(-1;4\right)\)

Ta có: 

\(y=\left(m-1\right)x+m+3\\ \Leftrightarrow y=mx-x+m+3\\ \Leftrightarrow m\left(x+1\right)+3-x-y=0\)

Gọi \(\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định của đồ thì hàm số đã cho thì \(\left(x_0;y_0\right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\3-x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=4\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m ≠ 1 đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định là \(\left(-1;4\right)\)

Viết lại đề:\(\left\{{}\begin{matrix}xy=x+y\\\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{y^2}=1\end{matrix}\right.\) (điều kiện \(x,y\ne0\))

pt thứ nhất có thể được viết lại như sau: \(xy=x+y\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\)

Do đó hệ pt đã cho có thể viết lại: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{y^2}=1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b\) với \(a,b\ne0\), khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^2+3b^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1-b\\\left(1-b\right)^2+3b^2=1\left(@\right)\end{matrix}\right.\)

pt \(\left(@\right)\Leftrightarrow b^2-2b+1+3b^2=1\Leftrightarrow4b^2-2b=0\) \(\Leftrightarrow2b\left(2b-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\left(loại\right)\\b=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow a=1-b=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy nghiệm của hpt đã cho là \(\left(2;2\right)\)

\(xy=x+y\)

a) Có \(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\) ; 

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) 

Tương tự được \(A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+....+\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\)

\(=\sqrt{2006}-1\)

Có \(\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\right)+1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{1-2}=-\left(\sqrt{2}+1\right)\) 

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\)

Tương tự \(C=-\left(\sqrt{2}+1\right)+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+...+\left(\sqrt{49}+\sqrt{48}\right)\) 

\(=\sqrt{49}-1=7-1=6\)

A=$\sqrt{12-6\sqrt{3}}+\sqrt{21-12\sqrt{3}}$

=$\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(3-2\sqrt{3}\right)}^2}$

=$\left|3-\sqrt{3}\right|+\left|3-2\sqrt{3}\right|$

=$3-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3=\sqrt{3}$

sao câu trl chx hiện ra v ???

a) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên $\widehat{PFB}=\widehat{ACB}=\widehat{PBF}$ suy ra $PF=PB$

Suy ra $MP\perp AB$ vì MP là trung trực của BF. Do đó $MP||CF$. Tương tự $MQ||BE$

b) Dễ thấy M,I,J đều nằm trên trung trực của EF cho nên chúng thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua M cố định.

c) Gọi FK cắt AD tại T ta có $FK\perp AD$ tại T. Theo hệ thức lượng $I{E}^2=I{F}^2=IT.IL$

Suy ra $\Delta TIE\Delta EIL$. Lại dễ có $EI\perp EM$, suy ra ITKE nội tiếp

Do vậy $\widehat{ILE}=\widehat{IET}=\widehat{IKT}=90^0-\widehat{LIK}$. Vậy $IK\perp EL.$

Thu gọn

`[2x]/y\sqrt{y/[2x]}=\sqrt{([2x]/y)^2. y/[2x]}=\sqrt{[2x]/y}=[\sqrt{2xy}]/y`

`\sqrt{1/[a^4]+1/a}=\sqrt{[1+a^3]/[a^4]}=\sqrt{1+a^3}/[a^2]`

`\sqrt{[16x^3]/[81y]}=[4|x|\sqrt{x}]/[9\sqrt{y}]`

bạn nào trl thì trl lại đc khum ạ

Mik ko xem đc câu trl 

\(8=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^3\le27\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)