\(\left(1+2+3+...+100\right)\left(1^2+2^2+3^2+...+100^2\right)\left(65\cdot111-13\cdot15\cdot37\right)\)

\(=\left(1+2+...+100\right)\left(1^2+2^2+...+100^2\right)\left[13\cdot37\left(5\cdot3-15\right)\right]\)

=0

a: \(A=1+2+2^2+...+2^{100}\)

=>\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{101}\)

=>\(2A-A=2+2^2+...+2^{101}-1-2-...-2^{100}\)

=>\(A=2^{101}-1\)

b: Đặt \(B=5+5^3+...+5^{99}\)

=>\(25B=5^3+5^5+...+5^{101}\)

=>\(25B-B=5^3+5^5+...+5^{101}-5-5^3-...-5^{99}\)

=>\(24B=5^{101}-5\)

=>\(B=\dfrac{5^{101}-5}{24}\)

\(\left[\left(6x-12\right):3\right].32=64\)

\(\left(6x-12\right):3=64:32\)

\(\left(6x-12\right):3=2\)

\(6x-12=2.3\)

\(6x-12=6\)

\(6x=12+6\)

\(6x=18\)

\(x=18:3\)

\(x=6\)

\(\left[\left(6x-12\right):3\right]\cdot2^5=64\)

=>\(\left(2x-4\right)=\dfrac{64}{2^5}=2\)

=>2x=4+2=6

=>\(x=\dfrac{6}{2}=3\)

\(54=3^3\cdot2;36=2^2\cdot3^2;60=2^2\cdot3\cdot5\)

=>ƯCLN(54;60;36)=3*2=6

Muốn chia 54 quyển vở; 36 bút bi, 60 cuốn sách thành một số phần thưởng như nhau thì số phần thưởng nhiều nhất sẽ là ƯCLN(54;60;36)=6 phần thưởng

\(3xy+x+3y+1=5\)

\(x\left(3y+1\right)+\left(3y+1\right)=5\)

\(\left(3y+1\right)\left(x+1\right)=5\)

Ta có bảng:

Do x;y nguyên nên \(\left(x;y\right)=\left(-2;-2\right);\left(4;0\right)\)

Gọi số nguyên tố là p

Vì p là số lẻ nên p ≥ 3

Nếu p = 3 ta có p = 4k + 3 (với k = 0)

Nếu p > 3 khi đó p = 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3 

 Nếu p = 4k + 2 ⇒  p = 2.(k + 1) ⋮ 2 (là hợp số loại)

Từ những lập luận trên ta có với mọi số nguyên tố lẻ thì luôn có dạng

P = 4k + 1 hoặc p = 4k + 3

a: 3x=2y

=>\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

mà x+y=10

nen Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}=\dfrac{10}{5}=2\)

=>\(x=2\cdot2=4;y=2\cdot3=6\)

b: \(\dfrac{x-2}{y+3}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\)

=>3x-6=2y+6

=>3x-2y=12

y-x=-4

=>x=y-(-4)=y+4

3x-2y=12

=>3(y+4)-2y=12

=>3y+12-2y=12

=>y=0

x=y+4=0+4=4

c: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}\)

mà x+2y=12

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{x+2y}{2+5\cdot2}=\dfrac{12}{12}=1\)

=>x=2;y=5

\(a,2^n+2^{n+4}=272\\ \Rightarrow2^n+2^n.2^4=272\\ \Rightarrow2^n+2^n.16=272\\ \Rightarrow2^n.17=272\\ \Rightarrow2^n=16\\ \Rightarrow2^n=2^4\\ \Rightarrow n=4\)

\(b,5^{n+2}-5^n=600\\ \Rightarrow5^n.5^2-5^n=600\\ \Rightarrow5^n\left(25-1\right)=600\\ \Rightarrow5^n.24=600\\ \Rightarrow5^n=25\\ \Rightarrow5^n=5^2\\ \Rightarrow n=2\)

\(a)2^n+2^{n+4}=272\)

\(2^n+2^n.2^4=272\)

\(2^n\left(1+2^4\right)=272\)

\(2^n.17=272\)

\(2^n=16\)

\(2^n=2^4\)

\(\Rightarrow n=4\)

\(b)\)\(5^{n+2}-5^n=600\)

\(5^n.5^2-5^n=600\)

\(5^n\left(5^2-1\right)=600\)

\(5^n.24=600\)

\(5^n=25\)

\(5^n=5^2\)

\(\Rightarrow n=2\)

Chúc bạn học tốt ❤️❤️

12 ⋮ 2n - 1

`=>2n - 1∈Ư(12)`

`=>2n-1∈{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12}`

Mà: `n ∈ nN=>2n-1` luôn là số lẻ 

và: `2n-1>=-1` 

`=>2n-1∈{-1;1;3}`

`=>2n∈{0;2;4}`

`=>n∈{0;1;2}`

Ta có:
+) \(12⋮\left(2n-1\right)\)
+) \(n\inℕ\Rightarrow\left(2n-1\right)\inℕ\)
Suy ra:
\(\left(2n-1\right)\inƯ\left(12\right)=\left\{1,2,3,4,6,12\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{1;1,5;2;2,5;3,5;6,5\right\}\)
Mà \(n\inℕ\) nên:
\(n\in\left\{1,2\right\}\)
Vậy \(n\in\left\{1,2\right\}\)

a; A = \(\dfrac{n+1}{n}\) 

   ƯCLN(n + 1; n) = d

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\)

⇒  n + 1 - n ⋮ d

⇒ (n - n) + 1 ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

Vậy d = 1

Hay A = \(\dfrac{n+1}{n}\) là phân số tối giản với mọi n khác 0

b; B = \(\dfrac{n-1}{n-2}\) (n \(\in\) Z; n ≠ 2)

    Gọi ƯCLN (n - 1; n - 2) = d

     \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}n-1⋮d\\n-2⋮d\end{matrix}\right.\)

    ⇒    (n - 1 - n + 2) ⋮ d

        ⇒ (n - n) + (2 - 1)⋮ d

           1 ⋮ d

B = \(\dfrac{n-1}{n+2}\) là phân số tối giản với mọi 2 ≠ n \(\in\) Z