Xin lỗi nha . Em mới học lớp 5 thôi

Mk xin lỗi .

Vì mới lớp 6 thôi.

Chúc bạn học tốt !

x có khác y không bạn

từ trên suy ra x khác y nhé

\(x_1x_2=2\Rightarrow\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{x_1}.\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\)

đề cosghi nhầm không cho x1+x2 làm j?

Trả lời:

\(\sqrt{x_1}.\sqrt{x_2}=\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{2}\)

Chúc anh học tốt !!!

Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^

a)    \(x^2-2\sqrt{2}x+2\)

\(=\left(x-\sqrt{2}\right)^2\)

b)    \(x^2+2\sqrt{5}x+5\)

\(=\left(x+5\right)^2\)

Áp dụng bđt Cô-si có'

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(1)

Áp dụng bđt trên ta được

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2a+b+c}\right)^2\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2\)

Chứng minh tương tự rồi cộng các vế lại cho nhau ta được

\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow16A\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

               \(=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+b};\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Khi đó \(16A\le2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

Ta có bđt phụ sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(tự chứng minh) (2)

Áp dụng ta được

\(16A\le4x^2+4y^2+4z^2=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

\(\Rightarrow4A\le\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(Bình phương 2 vế lên) 

Áp dụng bđt này ta được

\(4A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ac}+\frac{1}{a^2}\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Áp dụng bđt (2) ta được \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3+3=6\)

\(\Rightarrow A\le\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c = 1

#)Em thấy có link này có cách giải ngắn gọn hơn nek :

https://h.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+th%E1%BB%B1c+d%C6%B0%C6%A1ng+a,b,c+thay+%C4%91%E1%BB%95i+lu%C3%B4n+th%E1%BB%8Fa+m%C3%A3n+1/a2+++1/b2+++1/c2+=3.T%C3%ACm+Max+P+=+1/(2a+b+c)2++1(2b+a+c)2++1/(2c+a+b)2&id=394201

Ai cần link này ib e nhé ! e gửi cho chị #Diệp Song Thiên đã ^^

Cái thứ 2 là cộng hay trừ vậy bạn ?

cộng 

giúp mình nha

\(Đkxđ\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\\left(\sqrt{x}-1\right)^2>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x>1\end{cases}\Rightarrow}x>1}\)

\(C=\)\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x\sqrt{x}}+1+\frac{2}{x-\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x\sqrt{x}}+1+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

\(=\frac{x\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}+\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}+\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}+\frac{2x.\sqrt{x}}{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}\right)^2}\)

\(=x\left(\sqrt{x}-1\right)^2+3\left(\sqrt{x}-1\right)^2+x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2+2x.\sqrt{x}\)

.....

Áp dụng bđt \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)

Ta có \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

Dấu "=" tại a = b