Đặt \(A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ac+c+1}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{c+1+ac}+\frac{1}{ac+c+1}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{c+ac+1}{1+ac+c}=1\)

Vậy \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\left(đpcm\right)\)

Ta trục căn thức ở mỗi số hạng của A sau đó khử liên tiếp đc : A = 11 - 1 = 10

Ta có : \(B=\frac{2}{2\sqrt{1}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)

\(B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{35}}\)

\(B>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(B>2\left(6-1\right)=10\)

Vậy A < B

đề là GTLN.

ĐKXĐ : \(3\le x\le5\)

Ta có : \(A^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\right)^2=x-3+5-x+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\)

\(A^2=2+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\le2+\left(x-3+5-x\right)=4\)

\(\Rightarrow\)A² max = 4 \(\Rightarrow\)A max = 2 \(\Leftrightarrow\) x = 4

ĐKXĐ: \(3\le x\le5\)

Dễ thấy \(A\ge0\). Xét : \(A^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\right)^2\)

                                            \(=x-3+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}+5-x\)

                                           \(=2+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\)

Vì \(\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\ge0\Rightarrow2\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\ge0\)

Hay \(A^2\ge2+0=2\Rightarrow A\ge\sqrt{2}.\)

Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\sqrt{2}\)Khi \(\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=5\end{cases}}\)