Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(T=\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2+x+2}\)
\(T^2=x^2-x+2+x^2+x+2+2\sqrt{\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)}\)
\(T^2=2x^2+4+2\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-x^2}\)
\(T^2=2x^2+4+2\sqrt{x^4+4x^2+4-x^2}\)
\(T^2=2x^2+4+2\sqrt{x^4+3x^2+4}\)
Nhận xét : \(2x^2\ge0\forall x\)
\(x^4+3x^2+4=x^2\left(x^2+3\right)+4\)
Có : \(x^2\ge0,x^2+3\ge0\forall x\)nên
\(\Rightarrow x^2\left(x^2+3\right)\ge0\forall x\)
Cho nên \(x^4+3x^2+4\ge4\)
Vậy \(T^2=2x^2+4+2\sqrt{x^4+3x^2+4}\ge4+2\sqrt{4}=4+4=8\)
Do \(T^2\ge8\)nên :
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\frac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 só dương ta có :
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
Nhân vế theo vế các BĐT cùng chiều trên ta được :
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16\sqrt{a^2b^2c^2}=16abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=a\end{cases}}\)
b =c
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge16abc\) với a,b,c dương
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Trước tiên chứng minh BĐT \(\frac{x^3+1}{x+2}\ge\frac{7}{18}x^2+\frac{5}{18}\left(x>0\right)\)
\(\Leftrightarrow18\left(x^3+1\right)\ge\left(x+2\right)\left(7x^2+5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(11x+8\right)\ge0\)(luôn đúng với x>0)
Dấu "=" xảy ra khi x = 1
Áp dụng công thức trên ta có:
Cho x lần lượt là \(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{a+2b}\ge\frac{7a^2}{18}+\frac{5b^2}{18};\frac{b^3+c^3}{a+2b}\ge\frac{7b^2}{18}+\frac{5c^2}{18};\frac{c^3+a^3}{a+2b}\ge\frac{7c^2}{18}+\frac{5a^2}{18}\)
Từ đẳng thức trên suy ra \(A\ge\frac{12+\left(a^2+b^2+c^2\right)}{18}=2\)
Vậy MinA=2 khi a=b=c=1
Cần cm: \(\frac{a^3+b^3}{a+2b}\ge\frac{7}{18}a^2+\frac{5}{18}b^2\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(11a^3+8b^3-14a^2b-5ab^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\left(11a+8b\right)\ge0\) đúng với a,b>0
\(A\ge\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2b+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\\b^2c+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2c}{c}}=2b\\c^2a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{c^2a}{a}}=2c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{\Rightarrow1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(a^2b+\frac{1}{b}-2a\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}-2a=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}\left(a^2b+\frac{1}{b}\right)\ge a\)
phần còn lại mình dành cho bạn :)
Lâu rồi không show cách này:)
Sửa đề: \(M=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2017\)
Ta có: \(M=\frac{\left(4x+1\right)\left(2x-1\right)^2}{4x}+2017\ge2017\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=\frac{1}{2}\)
Em kiểm tra lại đề nhé! Hàm số của biểu thức : \(M=4^2-3x+\frac{1}{4x}+2017\) có đồ thị đi xuống nên sẽ không tồn tại GTNN em nhé!
