hack hay sao

chứng minh ngắn là làm tắt

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\). Tìm Min:\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(b+2c\right)}\)

Auto làm nốt:3

Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)

Vì x,y nguyên dương nên

\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:

\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

*x=1 thay vào (1) ta có:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)

mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)

*y=2 thay vào (1) ta được: 

\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)

Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.

Vậy x=1;y=3

từ gt \(\Rightarrow p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)suy ra b chẵn

Đặt b = 2k thì \(p=\frac{k}{2}\sqrt{\frac{a-k}{a+k}}\Leftrightarrow\frac{4p^2}{k^2}=\frac{a-k}{a+k}\)

đặt \(\frac{2p}{k}=\frac{m}{n}\)với ( m,n ) = 1 và d = ( a-k ; a+k ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-k=dm^2\\a+k=dn^2\end{cases}\Rightarrow2k=d\left(n^2-m^2\right)}\)

và \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)\)

Nếu m,n cùng lẻ thì \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)⋮8\)nên p chẵn tức là p = 2 suy ra ....

Nếu m,n không cùng lẻ thì m chia 4 dư 2 ( do 2p không là số chẵn không chia hết cho 4 và \(\frac{2p}{k}\) là phân số tối giản )

Khi đó n là số lẻ nên n² - m² là số lẻ nên không chia hết cho 4 suy ra d là số chia hết cho 2 

đặt d = 2r, ta có 2pn = rm ( n² - m² ) mà ( n² - m² , n ) = 1 \(\Rightarrow r⋮n\)

đặt r = ns ta có : 2p = s ( n - m ) ( n + m ) m . Do n-m,n+m đều lẻ nên n+m=p,n-m = 1

\(\Rightarrow s,m\le2\)và ( m,n ) = ( 1,2 ) và ( 2,3 )

với m = 1, n = 2 thì p = 3 , b = 24 , a = 20

với m = 2 , n = 3 thì p = 5, b = 30, a = 39

Vậy ....

Một bài khó hơn nha bạn tham khảo :D vô TKHĐ của tớ

Nguồn bài này là Iran MO 1998 bạn có thể tham khảo lời giải của giáo sư Titu Andresscu tại đây:

bạn viết tiếng việt đi bạn. nhìn thế khó đọc

Gọi G' là giao điểm của IJ và AA₁

Xét \(\Delta ABC\)có B₁,C₁ lần lượt là trung điểm của AC,AB nên B₁C₁ là đường trung bình 

\(\Rightarrow B_1C_1=\frac{BC}{2}\)

Tương tự : \(A_1B_1=\frac{AB}{2};A_1C_1=\frac{AC}{2}\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta A_1B_1C_1\)có \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta A_1B_1C_1~\Delta ABC\left(c.c.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{B_1A_1C_1}=\widehat{BAC};\widehat{A_1B_1C_1}=\widehat{ABC}\)

Mà \(\widehat{JA_1B_1}=\frac{\widehat{B_1A_1C_1}}{2},\widehat{IAB}=\frac{\widehat{BAC}}{2},\widehat{JB_1A_1}=\frac{\widehat{A_1B_1C}}{2},\widehat{IBA}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\)

Nên \(\widehat{JA_1B_1}=\widehat{IAB};\widehat{JB_1A_1}=\widehat{IBA}\)

Do đó \(\Delta JA_1B_1~\Delta IAB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{JA_1}{IA}=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{1}{2}\)

Mà \(\widehat{BAA_1}=\widehat{AA_1B_1}\) nên \(\widehat{IAA_1}=\widehat{IA_1A}\)Suy ra AI // A₁J

Xét \(\Delta G'AI\)có AI // A₁J nên \(\frac{G'A_1}{G'A}=\frac{G'J}{G'I}=\frac{JA_1}{IA}=\frac{1}{2}\Rightarrow AG'=\frac{2}{3}AA_1\)

Xét \(\Delta ABC\)có AA₁ là đường trung tuyến, G' thộc đoạn thẳng AA₁ và AG' = \(\frac{2}{3}AA_1\)

Do đó : G' là trọng tâm của tam giác ABC nên G' \(\equiv\)G.

Vậy I,G,J thẳng hàng và GI = 2GJ