\(ĐKXĐ:x\ge0\)

Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{x-1}{x+2\sqrt{x}+1}\)

\(\Rightarrow A^2=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}\)

\(\Rightarrow A^2+A=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}+\frac{x-1}{x+2\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{2x-2\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}=\frac{2\left(x-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(A\le0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A< 0\end{cases}}\)

+) A = 0\(\Leftrightarrow2\left(x-\sqrt{x}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\left(tm\right)\)

+) A < 0 \(\Leftrightarrow2\left(x-\sqrt{x}\right)< 0\)(vì \(\left(\sqrt{x}+1\right)^2>0\forall x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\\\sqrt{x}-1\end{cases}}\)trái dấu

Mà \(\sqrt{x}>\sqrt{x}-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}< 1\end{cases}}\Leftrightarrow0< x< 1\)

Vậy 0 < x < 1 thì \(A^2+A\le0\)

Sửa)): 

\(0\le x\le1\)nha. Ghi nhầm dấu ở kết luận

Do 2 th là \(\hept{\begin{cases}x=0;x=1\\0< x< 1\end{cases}}\Rightarrow\)\(0\le x\le1\)

Mình chịu nha

Bài tham khảo: 

Gọi thời gian ban đầu là x (x >0)
Thời gian xe đi 240 km đầu là 240/x (h)
Quãng đường còn lại dài : 520-240=280(km)
Vận tốc lúc sau của xe là x+10 (km/h)
Thời gian xe đi 280 km sau là 280/(x+10) (h)
Thời gian đi cả quãng đường là : 240/x + 280/(x+10) = 8h
Giải phương trình ta được
1. x=60 thoả mãn điều kiện x>0
2. x=-5 không thoả mãn điều kiện x>0
Vậy vận tốc ban đầu của xe là 60 km/h

# Học tốt #

Đề bài không cho x nguyên nên tớ làm như này nha :

\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(\left|A\right|=A\)

\(\Leftrightarrow A\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x}+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\ge1\)

\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy để \(\left|A\right|=A\Leftrightarrow x\ge1\)

Theo đề bài ta có:

\(2\left(y^2+1\right)+6\ge\left(x^4+1\right)+\left(y^4+4\right)+\left(z^4+1\right)\ge2x^2+4y^2+2z^2\)

\(\Rightarrow0< x^2+y^2+z^2\le4\)

Đặt: \(t=x^2+y^2+z^2.Đkxđ:0< t\le4\)

Ta có: \(\sqrt{2}\left(x+y\right)y=\sqrt{2x}y+\sqrt{2z}y\le\frac{2x^2+y^2}{2}+\frac{2z^2+y^2}{2}=x^2+y^2+z^2\)

\(P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2+y^2+z^2+1}=t+\frac{1}{t+1}=f\left(t\right)\)

Xét hàm: \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t+1}\) liên tục trên \(\left(0;4\right)\) 

\(f'\left(t\right)=1-\frac{1}{\left(t+1\right)^2}>0\forall t\in\left\{0;4\right\}\)nên:

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left\{0;4\right\}\)

\(\Rightarrow P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{21}{5}\forall t\in\left(0;4\right)\)

\(\Rightarrow P_{Min}=\frac{21}{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=z=1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

Vậy ....................

ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡

có cách nào không dùng hàm k ???

\(ĐKXĐ:-1\le x\le2;-1\le y\le2\)

\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{2-y}=\sqrt{3}\\\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}\right)-\left(\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{2-y}=\sqrt{3}\\\frac{x-y}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}}+\frac{x-y}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{2-y}=\sqrt{3}\\\left(x-y\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}}\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le x\le2;-1\le y\le2\\x=y\\\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le x\le2;-1\le y\le2\\x=y\\3+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(2-x\right)}=3\left(3\right)\end{cases}}\)

Giải phương trình 3 ta được 2 nghiệm là -1 và 2

Vậy hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{2-y}=\sqrt{3}\\\sqrt{2-x}+\sqrt{y-1}=\sqrt{3}\end{cases}}\)có 2 nghiệm là (-1;-1) và (2;2)