\(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+3y^3=2023\)  (*)

Đặt \(x^2+8x+11=t\left(t\inℤ;t\ge-5\right)\), pt (*) trở thành \(\left(t-4\right)\left(t+4\right)+3y^3=2023\) 

\(\Leftrightarrow t^2-16+3y^3=2023\)

\(\Leftrightarrow t^2+3y^3=2039\)        (1)

Xét pt (1), dễ thấy \(t^2\equiv0\left(mod3\right)\) hoặc \(t^2\equiv1\left(mod3\right)\), lại có \(3y^3\equiv0\left(mod3\right)\) nên \(VT\equiv0\left(mod3\right)\) hoặc \(VT\equiv1\left(mod3\right)\). Nhưng \(VP=2039\equiv2\left(mod3\right)\), điều này có nghĩa là (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho không thể có nghiệm nguyên.

$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+3y^3=2023$

$\iff \left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+3y^3=2023$

$\iff \left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+3y^3=2023$  (*)

Đặt $x^2+8x+11=t\left(t\in Z;t\ge -5\right)$, pt (*) trở thành $\left(t-4\right)\left(t+4\right)+3y^3=2023$ 

$\iff t^2-16+3y^3=2023$

$\iff t^2+3y^3=2039$        (1)

Xét pt (1), dễ thấy $t^2\equiv 0\left(mod3\right)$ hoặc $t^2\equiv 1\left(mod3\right)$, lại có $3y^3\equiv 0\left(mod3\right)$ nên $VT\equiv 0\left(mod3\right)$ hoặc $VT\equiv 1\left(mod3\right)$. Nhưng $VP=2039\equiv 2\left(mod3\right)$, điều này có nghĩa là (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho không thể có nghiệm nguyên

Điều kiện: \(y\ge0\)

pt thứ nhất của hệ \(\Leftrightarrow\left(y-x+3\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow y-x+3=0\) \(\Leftrightarrow y=x-3\)

Thay vào pt thứ hai của hệ, ta được  \(2x^2+3x+x-3-\left(3x+1\right)\sqrt{x-3}-2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4x-5=\left(3x+1\right)\sqrt{x-3}\)         \(\left(x\ge3\right)\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+4x-5\right)^2=\left[\left(3x+1\right)\sqrt{x-3}\right]^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+16x^2+25+16x^3-20x^2-40x=\left(3x+1\right)^2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3-4x^2-40x+25=9x^3-21x^2-17x-3\)

\(\Leftrightarrow4x^4+7x^3+17x^2-23x+28=0\)

Đặt \(f\left(x\right)=4x^4+7x^3+17x^2-23x+28\)

\(f\left(x\right)=4x^4+7x^3+17x^2+4+4+...+4-23x+4\) (có 6 số 4 ở giữa)

\(f\left(x\right)\ge9\sqrt[9]{4x^4.7x^3.17x^2.4^6}-23x+4\) \(=\left(9\sqrt[9]{1949696}-23\right)x+4\)

Hiển nhiên \(9\sqrt[9]{1949696}>23\). Lại có \(x\ge3\) nên \(f\left(x\right)>0\), Như vậy pt \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm. Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho vô nghiệm.

Bạn cần làm gì với 2 biểu thức này?

Đkxđ:

y≥0

x-1≠0 => x≠1

Mình không trả lời được, nhưng mình có thể hỏi thử xem mình ra câu này có đúng không nhé.

1.

c, \(A=\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{-2}{\sqrt{x}-2}\)

Để A là số tự nhiên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{-2}{\sqrt{x}-2}\ge0\\1+\dfrac{-2}{\sqrt{x}-2}\inℤ\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\le1\\\sqrt{x}-2\inƯ\left(-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\le0\\\sqrt{x}-2\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>4\\x\in\left\{0;1;9;16\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in\left\{9;16\right\}\)

Vậy...