Giúp mình với

Chứng minh gì vậy bạn

Với x,y>0 ta cm: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=>\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

ÁP dụng vào bài toán ta có: 

\(\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{4ab}{a+b+2c}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)

tương tự: \(\frac{4bc}{b+c+2a}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c};\frac{4ca}{c+a+2b}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)

Cộng 3 bđt trên vế theo vế ta dc \(4\left(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\right)\le\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}=c+a+b\)

=>đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

a. thay m=1 vào pt(1): \(x^2-2.2x+2-4=0\)

<=>\(x^2-4x-2=0\)

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-1.\left(-2\right)=4+2=6>0\)

=>\(x_1=-\left(-2\right)+\sqrt{6}=2+\sqrt{6};x_2=2-\sqrt{6}\)

Vậy,,,

b, \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-1.\left(2m-4\right)=m^2+2m+1-2m+4=m^2+5\)

Để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 <=>\(\Delta'>0\Leftrightarrow m^2+5>0\) (luôn đúng)

Theo hệ thức vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-4\end{cases}}\)

Theo bài ra ta co;\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2\Leftrightarrow\frac{2m+2}{2m-4}=2\)

\(\Leftrightarrow2m+2=4m-8\Leftrightarrow2m=10\Leftrightarrow m=5\)

  Đặt \(2^4+2^7+2^n=a^2\) (a \(\in\) N)

\(\iff\) \(\left(2^4+2^7\right)+2^n=a^2\)

\(\iff\)\(2^4.\left(1+2^3\right)+2^n=a^2\)

\(\iff\)\(2^4.3^2+2^n=a^2\)

\(\iff\)\(\left(2^2.3\right)^2+2^n=a^2\)

\(\iff\) \(12^2+2^n=a^2\)

\(\iff\)\(2^n=a^2-12^2\)

\(\iff\)\(2^n=\left(a-12\right).\left(a+12\right)\)

 Đặt \(a-12=2^q\left(2\right)\)  \(;a+12=2^p\left(1\right)\) 

 Gỉa sử :p>q ,p,q \(\in\) N

Lấy (1)-(2) vế với vế ta được \(24=2^p-2^q\)

                                            \(2^3.3=2^q.\left(2^{p-q}-1\right)\)

 \(\implies\) \(\hept{\begin{cases}2^3=2^q\\3=2^{p-q}-1\end{cases}}\) \(\implies\) \(\hept{\begin{cases}q=3\\2^2=2^{p-q}\end{cases}}\) \(\implies\) \(\hept{\begin{cases}q=3\\p-q=2\end{cases}}\)     \(\implies\)\(\hept{\begin{cases}q=3\\p=5\end{cases}}\)

 \(\implies\)  \(n=p+q=3+5=8\)

Với n=8  thì \(2^4+2^7+2^n=2^4+2^7+2^8=16+128+256=400=20^2\) là số chính phương thỏa mãn ycbt

Vậy n=8 

bài này lớp 6

\(A=n\left(n+2\right)\left(73n^2-1\right)=n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)+72n^3\left(n+2\right)=\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+72n^3\left(n+2\right)\)

Ta thấy n-1 , n , n+1, n+2 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp sẽ có tích chia hết cho 8

=> (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 

Dễ dàng lập luận đc (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 3

mà (8,3)=1

=> (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 24 

mà 72n^3(n+2) chia hết cho 24 
=> A chia hết cho 24