Cho a, b, c là các số thực sao cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Chứng minh rằng a = b = c hoặc a + b + c = 0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(4x^4+y^4\)
\(=4x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2\)
\(=\left(2x^2+y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(2x^2-2xy+y^2\right)\left(2x^2+2xy+y^2\right)\)
\(2x^2+4x+3\)
\(=2\left(x^2+2x+\dfrac{3}{2}\right)\)
\(=2\left(x^2+2x+1+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=2\left(x+1\right)^2+1>=1>0\forall x\)
Ta có:
\(2x^2+4x+3\\ =\left(2x^2+4x+2\right)+1\\ =2\left(x^2+2x+1\right)+1\\ =2\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\)
=> Bt luôn dương
Nửa chu vi khu đất là 100:2=50(m)
Gọi chiều dài khu đất là x(m)
(Điều kiện: \(x>\dfrac{50}{2}=25\))
Chiều rộng khu đất là 50-x(m)
Chiều dài khu đất sau khi giảm đi 20m là x-20(m)
Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi 20m là 50-x-20=30-x(m)
DIện tích khu đất ban đầu là x(50-x)(m2)
Diện tích khu đất giảm đi là:
x(50-x)-(x-20)(30-x)
\(=50x-x^2-30x+x^2-600+20x=40x-600\left(m^2\right)\)
Gọi số dãy ghế định xếp ban đầu là x (dãy) với \(x>3;x\in N\)
Số ghế mỗi dãy ban đầu là: \(\dfrac{500}{x}\) ghế
Số dãy ghế sau khi bớt đi 3 là: \(x-3\) dãy
Số ghế mỗi dãy sau khi tăng 3 ghế là: \(\dfrac{500}{x}+3\) ghế
Số ghế trong hội trường khi đó là: \(\left(x-3\right)\left(\dfrac{500}{x}+3\right)\) ghế
Do phải bổ sung thêm 6 ghế nên ta có pt:
\(\left(x-3\right)\left(\dfrac{500}{x}+3\right)=500+6\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)\left(500+3x\right)=506x\)
\(\Rightarrow3x^2-15x-1500=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=25\\x=-20\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ban đầu người ta định xếp 25 dãy ghế
\(-7x\left(x+2\right)\left(x-3\right)+5x\left(-2x^2+x-4\right)+3x\left(x^2-5x-7\right)-\left(x^2-5x\right)\)
\(=-7x\left(x^2-x-6\right)-10x^3+5x^2-20x+3x\left(x^2-5x-7\right)-\left(x^2-5x\right)\)
\(=-7x^3+7x^2+42x-10x^3+5x^2-20x+3x\left(x^2-5x-7\right)-x^2+5x\)
\(=-17x^3+11x^2+27x+3x^3-15x^2-21x\)
\(=-14x^3-4x^2+6x\)
\(M=-x^2+6x-11\\ =-\left(x^2-6x+9\right)+9-11\\ =-\left(x-3\right)^2-2\)
Ta thấy: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-3\right)^2-2\le-2\forall x\\ \Rightarrow M\le-2\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(M_{max}=-2\Leftrightarrow x=3\).
`M = -x^2 + 6x - 11`
`= -(x^2 - 6x + 11) `
`= -(x^2 - 2.3x + 3^2 + 2)`
`= -(x^2 - 2.3x + 3^2) - 2`
`= -(x-3)^2 - 2`
Do `(x-3)^2 ≥ 0` `∀x` thuộc `R`
`=> -(x-3)^2 ≤ 0` `∀x` thuộc `R`
`=> -(x-3)^2 - 2 ≤ -2` ` ∀x` thuộc `R`
Hay `M ≤ -2` `∀x` thuộc `R`
Dấu `=` có khi:
`(x-3)^2 = 0`
`<=> x - 3 = 0`
`<=> x = 3`
Vậy `M_(max) = -2 <=> x = 3`
\(\sqrt{\dfrac{2\left(4-\sqrt{7}\right)}{2}}-\sqrt{\dfrac{2\left(4+\sqrt{7}\right)}{2}}+\sqrt{2}=?\)
\(\sqrt{\dfrac{2\left(4-\sqrt{7}\right)}{2}}-\sqrt{\dfrac{2\left(4+\sqrt{7}\right)}{2}}+\sqrt{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=0\)
\(\sqrt{\dfrac{8-2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{7}}{2}}+\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}{2}}-\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}{2}}+\sqrt{2}\)
\(=\dfrac{\left|\sqrt{7}-1\right|}{\sqrt{2}}-\dfrac{\left|\sqrt{7}+1\right|}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\)
\(=\dfrac{-2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=0\)
`a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`
`=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0`
`=> (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = 0`
`=> ((a+b)^3 + c^3) - (3ab(a+b) + 3abc) = 0`
`=> (a+b+c) ((a+b)^2 - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c) = 0`
`=> (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2) - 3ab(a+b+c) = 0`
`=> (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = 0`
`=> (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2) = 0`
Trường hợp 1:
`a+b+c = 0 (đpcm)`
Trường hợp 2:
`a^2 - ab + b^2 + ac + bc + c^2 = 0`
`<=> 2a^2 - 2ab + 2b^2 - 2bc +2c^2 - 2ca = 0`
`<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc +c^2 + c^2 - 2ac + a^2 = 0`
`<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0`
Do `{((a-b)^2 >=0),((b-c)^2 >=0),((c-a)^2 >=0):}`
`=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 >= 0`
Dấu = có khi:
`{(a=b),(b=c),(c=a):}`
Hay `a=b=c (đpcm)`
Ta có :a^3+b^3+c^3=3abc⇒a^3+b^3+c^3-3abc=0
⇒(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
TH1: a+b+c=0
TH2:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
⇒2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
⇒a=b=c