\(ĐK:x\ge\frac{1}{2}\)

Biến đổi phương trình đã cho thành

\(\left(x-2\right)\left[3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)-\left(2x^2-x+2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)-\left(2x^2-x+2\right)=0\left(1\right)\end{cases}}\)

Giải PT 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)-x\left(2x-1\right)-2=0\left(2\right)\)

đặt \(\sqrt{2x-1}=t\left(zới\right)t\ge0=>x=\frac{t^2+1}{t}\)thay zô PT (2) ta đc

\(t^4-3t^3-2t^2-3t+1=0\Leftrightarrow\left(t^2+t+1\right)\left(t^2-4t+1\right)=0\Leftrightarrow t^2-4t+1=0\Leftrightarrow t=2\pm\sqrt{3}\)

từ đó tìm đc 

\(x=4\pm2\sqrt{3}\left(tm\right)\)

Kết luận . PT có 3 nghiệm là

\(x=2;x=4\pm2\sqrt{3}\)

ta có

zế trái :\(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)

zế phải : \(4-2x-x^2=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

zậy 2 zế đều = 5 , khi đó x=-1 . Zới giá trị này cả 2 bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức

KL ::

Ta có : 

\(\sqrt{3}x^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}=-x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{3}\right)x^2+\left(2\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)x-\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{3}\right)x^2+2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)x-\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)=0\)

\(\Rightarrow\Delta'=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)=17+4\sqrt{15}\)

\(+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm 

\(x=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\pm\sqrt{17+4\sqrt{15}+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{3}}\)

√2+√8+√50=√2+√22.2+√52.2=√2+2√2+5√2=8√2