Ta có : 

\(abc=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow abc.\left(a+b+c\right)=1\)

Lai có : \(P=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(=a^2+ab+bc+ac\)

\(=a.\left(a+b+c\right)+bc\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có : 

P= \(a\left(a+b+c\right)+bc\ge2\sqrt{a.\left(a+b+c\right).bc}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a.\left(a+b+c\right)=bc\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( đúng )

Áp dụng Bunhiacopski ta có:

\(S^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+y-3\right)=2\left(x+y-5\right)=2\)

Dấu "=" bạn xét nốt

Ta có : 

\(8x^3+y^6=A\left(2x+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^3+\left(y^2\right)^3=A\left(2x+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y^2\right)\left(4x^2+y^4-2xy^2\right)=A\left(2x+y^2\right)\)

Do \(2x+y^2\ne0\) nên ta có 

\(A=4x^2+y^4-2xy^2\)

Bài 1 : 

Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm đc là x(ngày) và y(ngày)

Khi đó, trong 1 ngày mỗi người làm đc số phần công việc là  \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\)

Vậy trong 1 ngày 2 người cùng làm được \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)phần công việc

Do 20 ngày cùng làm chung trong 20 ngày thì xong nên

\(20\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{20}{x}+\frac{20}{y}=1\)

Lại có sau khi làm chung được 12 ngày thì một trong hai người đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày, người thứ nhất trở về làm tiếp 6 ngày nữa (trong 6 ngày đó người thứ hai nghỉ) và công việc được hoàn thành nên ta có

\(12\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{12}{y}+\frac{6}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{18}{x}+\frac{24}{y}=1\)

Vậy ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}\frac{20}{x}+\frac{20}{y}=1\\\frac{18}{x}+\frac{24}{y}=1\end{cases}}\)

Đặt \(u=\frac{1}{x},v=\frac{1}{y}\). Khi đó hệ trở thành

\(\hept{\begin{cases}20u+20v=1\\18u+24v=1\end{cases}}\)

Vậy \(u=\frac{1}{30},v=\frac{1}{60}\)

Vậy x=30,y=60

Do đó người thứ nhất và người thứ hai làm riêng trong lần lượt 30 ngày và 60 ngày thì xong công việc.

Bài 2 : 

Gọi số nhỏ hơn là x, khi đó số lớn hơn là x+10

Do phép nhân sai nên kết quả ở hàng chục bị thiết đi 3 nên khi đó tích là

\(x\left(x+10\right)-30=x^2+10x-30\)

Lại có nếu đem kết quả sai dó chia cho số nhỏ hơn trong 2 số ban đầu sẽ được thương là 25 và số dư là 4 nên ta có

\(x^2+10x-30=25x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2-15x-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-17\right)\left(x+2\right)=0\)

Vậy x=17 hoặc x= -2 (loại ) 

Do đó 2 số cần tìm là 17 và 27.

Ta có \(x^2-4\left(m-1\right)x+5=0\)    \(\left(a=1;b=-4\left(m-1\right);c=5\right)\)

a) Vì pt có nghiệm x=1\(\Rightarrow a+b+c=0\)

                                     \(\Leftrightarrow1-4\left(m-1\right)+5=0\)

                                     \(\Leftrightarrow1-4m+4+5=0\)

                                      \(\Leftrightarrow4m=10\)

                                      \(\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}\)

b) Vì pt có nghiệm x1=1\(\Rightarrow x2=\frac{c}{a}=5\)

Hệ phương trình <=> \(\hept{\begin{cases}y=m-mx\\x+m\left(m-mx\right)=1\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}y=m-mx\\\left(1-m^2\right)x=1-m^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (2): 

TH1: \(1-m^2=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

khi đó: (2) trở thành: 0x = 0 có vô số nghiệm => TH1 loại

TH2: \(m\ne\pm1\)

khi đó: (1) <=> x = 1   thay vào tính y = m- m = 0 

Vậy với mọi  \(m\ne\pm1\) hệ luôn có nghiệm duy nhất: (x; y) = ( 1; 0)

\(\hept{\begin{cases}x=\frac{m+1}{3}y-1\left(1\right)\\-mx=y-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Thế (1) vào (2) ta có: \(-m\left(\frac{m+1}{3}y-1\right)=y-1\)

<=> \(\left(1+\frac{m^2+m}{3}\right)y=m+1\)(1)

Vì \(1+\frac{m^2+m}{3}=\frac{m^2+m+3}{3}=\frac{\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}}{3}>0\)

=> Phương trình (1) có nghiệm duy nhất với mọi m 

=> Hệ phương trình ban đầu có nghiệm với mọi m