cho a+b+c =0. Tính: \([\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}][\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Do đó : \(a^4+b^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
\(\Rightarrow\frac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Với \(a,b,c>0\) thì ta có :
\(\hept{\begin{cases}0< a+b< a+b+c\\0< b+c< a+b+c\\0< c+a< a+b+c\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Ta có phương trình :
\(x^2y+x^2=x^3-y+2x+7\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y=x^3-x^2+2x+7\)
\(\Leftrightarrow y.\left(x^2+1\right)=x^3-x^2+2x+7\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\)
Do \(y\inℤ\rightarrow\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\inℤ\). Lại có \(x\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3-x^2+2x+7\inℤ\\x^2+1\inℤ\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^3-x^2+2x+7⋮x^2+1\)
\(\Leftrightarrow x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)+x+8⋮x^2+1\)
\(\Leftrightarrow x+8⋮x^2+1\)
\(\Rightarrow\left(x+8\right)\left(x-8\right)⋮x^2+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-65⋮x^2+1\)
\(\Leftrightarrow65⋮x^2+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1\inƯ\left(65\right)\). Mà : \(x^2+1\ge1\forall x\)
\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1,5,13,65\right\}\)
\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0,4,12,64\right\}\). \(x^2\) là số chính phương với \(x\inℤ\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{0,4,64\right\}\Rightarrow x\in\left\{0,2,-2,8,-8\right\}\)
+) Với \(x=0\) thì \(y=7\) ( Thỏa mãn )
+) Với \(x=2\) thì \(y=3\) ( Thỏa mãn )
+) Với \(x=-2\) thì \(y=-\frac{9}{5}\) ( Loại )
+) Với \(x=8\) thì \(y=\frac{471}{65}\) ( Loại )
+) Với \(x=-8\) thì \(y=-9\) ( Thỏa mãn )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-8,-9\right);\left(0,7\right);\left(2,3\right)\right\}\)
\(B=\sqrt{\left(x-2020\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left|x-2020\right|+\left|x-1\right|\)
\(=\left|x-2020\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x-2020+1-x\right|=\left|-2019\right|=2019\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-2020\right)\left(1-x\right)\ge0\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}x-2020\le0\\1-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2020\\1\le x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2020\\x\ge1\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le2020\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x-2020>0\\1-x>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>2020\\1>x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>2020\\x< 1\end{cases}}\)( không thỏa mãn )
Vậy \(minB=2019\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2020\)
\(B=|x-2020|+|x-1|\)
\(=|2020-x|+|x-1|\)
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
\(|2020-x|+|x-1|\ge|2020-x+x-1|\)
\(|2020-x|+|x-1|\ge|2020-x+x-1|\)
\(|2020-x|+|x-1|\ge|2019|\)
\(|2020-x|+|x-1|\ge2019\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left(2020-x\right)\left(x-1\right)\ge0\)
Có 2 TH
TH 1 :
\(\hept{\begin{cases}2020-x\ge0\\x-1\ge0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}-x\ge-2020\\x\ge1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x\le2020\\x\ge1\end{cases}\Rightarrow1\le x\le2020}\)
TH2 :
\(\hept{\begin{cases}2020-x\le0\\x-1\ge0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}-x\le-2020\\x\le1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x\ge2020\\x\le1\end{cases}\Rightarrow x=\varnothing}\)
a/ Kẻ đường cao AH => BH là hình chiếu của AB trên BC và CH là hình chiếu của AC trên BC
Giả sử \(\frac{AB}{AC}=k\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=k^2\)
Ta có \(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}=k^2\)
b/ Áp dụng câu A sẽ tính được tỷ số hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên BC là mà biết chiều dài BC=82 bài toán là dạng tìm 2 số khi biết tổng và tỷ ở lớp 5 rồi bạn tự giải nốt nhé
\(ĐKXĐ:x\ge-5\)
Ta có : \(x^2-7x=6\sqrt{x+5}-30\)
\(\Leftrightarrow x^2-7x+30-6\sqrt{x+5}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+16\right)+\left(x+5-6\sqrt{x+5}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-4\right)^2=0\\\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=4\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=4\)
Ta đặt: \(A=\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\)
=> \(A^2=\left(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)^2\)
<=> \(A^2=\sqrt{7}-\sqrt{3}-2\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\)
<=> \(A^2=2\sqrt{7}-2\sqrt{7-3}\)
<=> \(A^2=2\sqrt{7}-2\sqrt{4}=2\left(\sqrt{7}-2\right)\)
=> \(A=\sqrt{2\left(\sqrt{7}-2\right)}\)
Thay vào ta được:
\(\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{7}-2\right)}}{\sqrt{\sqrt{7}-2}}=\sqrt{2}\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c};\frac{b-c}{a};\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
Khi đó:
\(S=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}\)
Ta có:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-cb+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(a-b\right)}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a-c\right)}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{c\left(b+a-c\right)}{ab}\)
\(=\frac{2c^2}{ab}=\frac{2c^3}{abc}\)
Một cách tương tự khi đó:\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=\frac{2\cdot3abc}{abc}=6\)
Khi đó:\(S=3+6=9\) Bạn để ý rằng \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
sao \(\frac{c\left(b+a-c\right)}{ab}\) lại bằng \(\frac{2c^2}{ab}\)