Ta có: \(A=\frac{4}{1.2}+\frac{4}{2.3}+\frac{4}{3.4}+...+\frac{4}{2014.2015}\)

\(=1\left(\frac{3}{1.2}+\frac{3}{2.3}+\frac{3}{3.4}+...+\frac{3}{2014.2015}\right)\)

\(=1\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(=1\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)

\(=1\left(\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}\right)-1\left(\frac{2014}{2015}\right)=\frac{2014}{2015}\)

Vậy.....

\(A=\frac{4}{1.2}+\frac{4}{2.3}+\frac{4}{3.4}+....+\frac{4}{2014.2015}\)

\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\)

\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2015}=\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}\)

Gọi 2 phân số đó là \(\frac{a}{b}\)và \(\frac{c}{d}\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\)

<=> \(\frac{ad+bc}{bd}=\frac{ac}{bd}\)

<=> ad + bc =ac

Chia cả 2 vế cho ac, ta được: \(\frac{ad}{ac}+\frac{bc}{ac}=\frac{ac}{ac}\)

<=> \(\frac{d}{c}+\frac{b}{a}=1\)=> \(\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}\)

<=> \(\frac{b}{a}=\frac{c-d}{c}\) => \(\frac{a}{b}=\frac{c}{c-d}\)

Vậy 2 phân số cần tìm là thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}=\frac{c}{c-d}\)(Với c, d thuộc N*)

Ví dụ: c=2, d=7 => \(\frac{a}{b}=\frac{2}{2-7}=-\frac{2}{5}\)

=> \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=-\frac{2}{5}+\frac{2}{7}=\frac{-14+10}{5.7}=-\frac{4}{5.7}=\left(-\frac{2}{5}\right).\frac{2}{7}=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\)

1 + 2 + ... + n

Số số hạng là :

( n - 1 ) : 1 + 1 = n

Tổng là :

\(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)

số đường thẳng có trong hình :

5.(5-1) : 2 = 10 (đường thẳng)

đ\s.....

Ta có:

\(\frac{10}{11}+\frac{1}{11}=1\)                           \(\frac{15}{16}+\frac{1}{16}=1\)

\(\frac{12}{13}+\frac{1}{13}=1\)

Vì \(\frac{1}{11}>\frac{1}{13}>\frac{1}{16}\)\(\Rightarrow\frac{10}{11}< \frac{12}{13}< \frac{15}{16}\)

b.

Ta có: \(\frac{-497}{496}>\frac{-497}{815}>\frac{-816}{815}\)

\(\Rightarrow\frac{-497}{496}>\frac{-816}{815}\)

Bài 1 dễ rồi.

Bài 2 

a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa đoạn thẳng OB, ta có: \(\widehat{AOB}=135^o;\widehat{BOC}=90^o\)

=>tia OC nằm giữa 2 tia còn lại.

Vì tia OC nằm giữa 2 tia OA và OB.

AOC+COB=AOB hay AOC+90độ=135độ =>AOC=45độ 

b) Ta có OD là tia đối của OC =>COB + BOA =180 độ

Mà COB =90 độ nên BOC = 90độ

Từ OD là ia đồi cua OC => AOC = AOD = 180 độ

Mà AOC = 45 độ nên AOD= 180-450=135 độ và 135>90

=> AOD > BOD 

Bài 1 :

CÓ 2 trường hợp hình vẽ 

TH1 : Ox ; Oy ; Oz thuộc cùng 1 nữa mặt phẳng 

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ Ox có :

\(\widehat{xOz}=30^o< \widehat{xOy}=60^o\)

=> Oz nằm giữa Ox và Oy

=> \(\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=\widehat{xOy}\)

30^o + \(\widehat{zOy}\)= 60^o

\(\widehat{zOy}\)= 60^o - 30^o

\(\widehat{zOy}\)= 30^o

TH2 : Oz thuộc nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox

=> Ox nằm giữa Oy và Oz

=> \(\widehat{zOx}+\widehat{xOy}=\widehat{zOy}\)

30^o + 60^o = \(\widehat{zOy}\)

90^o = \(\widehat{zOy}\)

Vậy \(\widehat{zOy}\)= 30^o hoặc 90^o 

Bài toán có 2 đáp số