Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\leq 2$

$\sqrt{2-x}-\sqrt{4(2-x)}+\sqrt{9(2-x)}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x}-2\sqrt{2-x}+3\sqrt{2-x}=6$

$\Leftrightarrow (1-2+3)\sqrt{2-x}=6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2-x}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x}=3$

$\Leftrightarrow 2-x=3^2=9$

$\Leftrightarrow x=2-9=-7$ (tm)

Đề cho chưa phải là 1 đường thẳng. Bạn xem lại.

y=(2ra+1)x+3n-1 là sao bạn nhỉ? "ra" nghĩa là gì?

Lời giải:

Ta có:

$x+10^0+x+20^0+x+30^0=360^0$

$\Rightarrow 3x+60^0=360^0$

$\RIghtarrow x=100^0$

$\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\text{sđc(AC)}=\frac{1}{2}(x+30^0)=\frac{1}{2}(100^0+30^0)=65^0$

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB)}=\frac{1}{2}(x+10^0)=\frac{1}{2}(100^0+10^0)=55^0$

$\widehat{BAC}=180^0-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^0-65^0-55^0=60^0$

Lời giải:
$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$0=y_A=4m^2x_A+1-2m\Rightarrow x_A=\frac{2m-1}{4m^2}$

Vậy $A(\frac{2m-1}{4m^2},0)$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$y_B=4m^2x_B+1-2m=4m^2.0+1-2m=1-2m$
Vậy $B(0, 1-2m)$

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow OA.OB=1$

$\Leftrightarrow |x_A|.|y_B|=1$

$\Leftrightarrow |\frac{2m-1}{4m^2}|.|1-2m|=1$

$\Leftrightarrow \frac{(2m-1)^2}{4m^2}=1$

$\Rightarrow \frac{2m-1}{2m}=1$ hoặc $\frac{2m-1}{2m}=-1$

$\Rightarrow 2m-1=2m$ (loại) và $2m-1=-2m$ (chọn) 
$\Rightarrow m=\frac{1}{4}$

 Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)

 \(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)

 \(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:

 \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Ta có đpcm.