Cho hình thang $A B C D$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}, A D=4 A B, C D=3 A B$. Gọi $M$ là trung điểm của $A D, E$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $B C$. Tia $B M$ cắt đường thẳng $C D$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{M A E}=\widehat{M B E}$.
b) Chứng minh rằng $A B D F$ là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $B F$ cắt cạnh $B C$ tại $N$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $C D$. Chứng minh rằng tam giác $B N F$ cân.
d) Chứng minh rằng đường thẳng $M H$ đi qua trung điểm của $D E$.

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD$ và $H$ là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$, từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM,$ $AN$ với đường tròn $\left( I \right)$ ($M,$ $N$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $AMIN$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{AMN}=\widehat{ADN}$ và $\widehat{AHN}=\widehat{AND}.$

c) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng. 

(3 điểm)

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Vẽ đường tròn tâm $C$, bán kính $C A$. Từ điểm $B$ kẻ tiếp tuyến $B M$ với đường tròn $(C ; C A)$ ( $M$ là tiếp điểm, $M$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $B C$ ).

1) Chứng minh bốn điểm $A$, $C$, $M$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $A B$, ($N$ khác $A, N$ khác $B$). Lấy điểm $P$ thuộc tia đối của tia $M B$ sao cho $M P=A N$. Chứng minh tam giác $C P N$ là tam giác cân và đường thẳng $A M$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $N P$.

Cho ba điểm $A, B, C$ phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $A M$ đến nửa đường tròn $(O)$ ( $M$ là tiếp điểm). Trên cung $M C$ lấy điểm $E$ ( $E$ không trùng với $M$ và $C$ ), đường thẳng $A E$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F(F$ không trùng $E$ ). Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $E F$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $B C$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $A M I O$ nội tiếp;
b) Hai tam giác $O F H$ và $O A F$ đồng dạng với nhau;
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $O E F$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm $E$ thay đổi trên $M C$.

Để phục vụ cho công tác phòng chống dịch COVID-19, một công ty $A$ lên kế hoạch trong một thời gian quy định làm 20000 tấm chắn bảo hộ để tặng các chốt chống dịch. Do ý thức khẩn trương trong công tác hỗ trợ chống dịch và nhờ cải tiến quy trình làm việc nên mỗi ngày công ty $A$ làm được nhiều hơn 300 tấm so với kế hoạch ban đầu. Vì thế công ty $A$ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn đúng một ngày so với thời gian quy định và làm được nhiều hơn 700 tấm so với kế hoạch ban đầu. Biết rằng số tấm làm ra trong mỗi ngày là bằng nhau và nguyên cái. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày công ty $A$ cần làm bao nhiêu tấm chắn bảo hộ?